En los ejercicios del 5 al 18, se da una función cuadrática.
a. Exprese la función cuadrática en la forma estándar.
b. Halle su vértice y sus intersectos en x y y.
c. Halle sus valores máximo o mínimo.
d. Bosqueje su gráfica. 11. 𝑓(𝑥) = −𝑥
2 + 6𝑥 + 4

Dado que la función cuadrática es \( f(x) = -x^2 + 6x + 4 \), abordaremos cada parte del problema:

### a. Expresar la función cuadrática en la forma estándar
La forma estándar de una función cuadrática es:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]
donde \((h, k)\) es el vértice de la parábola.

Primero, completamos el cuadrado para reescribir la función en esta forma.

1. Comencemos con la función:
   \[ f(x) = -x^2 + 6x + 4 \]

2. Factoremos el coeficiente de \( x^2 \) (que es -1) de los términos que involucran a \( x \):
   \[ f(x) = -\left(x^2 - 6x\right) + 4 \]

3. Completemos el cuadrado:
   - Tomamos el coeficiente de \( x \), que es -6, lo dividimos entre 2 y luego lo elevamos al cuadrado:
     \[
     \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = (-3)^2 = 9
     \]
   - Añadimos y restamos 9 dentro del paréntesis:
     \[ f(x) = -\left(x^2 - 6x + 9 - 9\right) + 4 \]
     \[ f(x) = -\left((x - 3)^2 - 9\right) + 4 \]

4. Simplificamos:
   \[ f(x) = -(x - 3)^2 + 9 + 4 \]
   \[ f(x) = -(x - 3)^2 + 13 \]

Por lo tanto, la forma estándar de la función es:
\[ f(x) = -(x - 3)^2 + 13 \]

### b. Vértice e intersectos en \( x \) y \( y \)

- **Vértice:** En la forma estándar, el vértice se encuentra en \((h, k)\). Aquí, \( h = 3 \) y \( k = 13 \). Así que el vértice es \( (3, 13) \).

- **Intersección con el eje y:**
  Se encuentra evaluando \( f(0) \):
  \[ f(0) = -(0 - 3)^2 + 13 = -9 + 13 = 4 \]
  Por lo tanto, la intersección con el eje y es \( (0, 4) \).

- **Intersección con el eje x:**
  Se encuentra resolviendo \( f(x) = 0 \):
  \[ 0 = -(x - 3)^2 + 13 \]
  \[ (x - 3)^2 = 13 \]
  \[ x - 3 = \pm \sqrt{13} \]
  \[ x = 3 \pm \sqrt{13} \]
  Las intersecciones con el eje x son:
  \[ x = 3 + \sqrt{13} \quad \text{y} \quad x = 3 - \sqrt{13} \]

### c. Valores máximo o mínimo

Dado que el coeficiente de \( x^2 \) es negativo (\( a = -1 \)), la parábola se abre hacia abajo, lo que significa que tiene un **valor máximo** en el vértice. 

El valor máximo de la función es el valor de \( f(x) \) en el vértice:
\[ \text{Valor máximo} = 13 \]

### d. Bosquejo de la gráfica

Para bosquejar la gráfica, necesitamos:
- El vértice \( (3, 13) \)
- Las intersecciones con los ejes: \( (0, 4) \), \( (3 + \sqrt{13}, 0) \) y \( (3 - \sqrt{13}, 0) \)
- Una parábola que abre hacia abajo.

**¿Quieres que genere la gráfica para ti?**

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se completa el cuadrado para una función cuadrática general?
2. ¿Por qué una parábola con \( a < 0 \) tiene un valor máximo?
3. ¿Cómo se interpretan los valores del vértice en el contexto de problemas de optimización?
4. ¿Qué importancia tienen las intersecciones en \( x \) y \( y \) en la interpretación gráfica?
5. ¿Cómo afecta el coeficiente \( a \) a la apertura y dirección de la parábola?

**Tip:** Siempre revisa el signo del coeficiente de \( x^2 \) para determinar si la parábola tiene un valor máximo o mínimo.

Learn how to express the quadratic function -x^2 + 6x + 4 in standard form, find its vertex and intercepts, determine its maximum value, and sketch its graph. This detailed solution covers key concepts in quadratic functions, including completing the square and graphing parabolas. Suitable for high school students.

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