gib mir bitte die scheitelpunktsform einer quadratischen gleichung mit erklärung

Die **Scheitelpunktsform** einer quadratischen Gleichung lautet:

\[
f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s
\]

### Erklärung der Scheitelpunktsform:

1. **Allgemeine Form**: Eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form sieht so aus:
   \[
   f(x) = ax^2 + bx + c
   \]
   Hierbei ist \(a\) der Koeffizient der quadratischen Variable, \(b\) der Koeffizient der linearen Variable, und \(c\) der konstante Term.

2. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Punkt, an dem die Parabel ihren höchsten oder tiefsten Wert (je nach Öffnung der Parabel) erreicht. Die Koordinaten des Scheitelpunkts werden in der Form \((x_s, y_s)\) angegeben.

3. **Umformung in die Scheitelpunktsform**: Man kann eine quadratische Gleichung durch **Quadratisches Ergänzen** in die Scheitelpunktsform bringen. Dabei wird die Gleichung so umgestellt, dass der Scheitelpunkt leicht ablesbar ist.

4. **Bedeutung der Parameter**:
   - \(a\) bestimmt, wie stark die Parabel gestreckt oder gestaucht ist, und ob sie nach oben (\(a > 0\)) oder unten (\(a < 0\)) geöffnet ist.
   - \(x_s\) ist die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts.
   - \(y_s\) ist die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts.

### Beispiel:
Nehmen wir an, die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:
\[
f(x) = 2x^2 + 8x + 5
\]

Um diese in die Scheitelpunktsform umzuwandeln:
1. Zuerst teilen wir den \(b\)-Term durch \(2a\), um \(x_s\) zu finden:
   \[
   x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2
   \]

2. Dann setzen wir \(x_s\) in die Gleichung ein, um \(y_s\) zu bestimmen:
   \[
   y_s = f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
   \]

3. Damit ist die Scheitelpunktsform:
   \[
   f(x) = 2(x + 2)^2 - 3
   \]

### Zusammenfassung:
Die Scheitelpunktsform einer quadratischen Gleichung zeigt den Scheitelpunkt der Parabel und ermöglicht eine einfache Ablesung der wichtigsten Merkmale. Die Umformung erfolgt durch quadratische Ergänzung.

Möchtest du mehr Details dazu oder hast du Fragen? Hier sind 5 weiterführende Fragen:

1. Wie funktioniert das quadratische Ergänzen im Detail?
2. Wie beeinflusst der Parameter \(a\) die Form der Parabel?
3. Wie kann man die Scheitelpunktsform ohne quadratische Ergänzung berechnen?
4. Wie kann man die Nullstellen der Parabel in der Scheitelpunktsform berechnen?
5. Was ist der Unterschied zwischen der allgemeinen und der Scheitelpunktsform?

**Tipp**: Um von der Scheitelpunktsform zur allgemeinen Form zurückzukehren, einfach die binomische Formel \( (x - x_s)^2 \) ausmultiplizieren!

Erfahre, wie man die Scheitelpunktsform einer quadratischen Gleichung ableitet und anwendet. Diese Erklärung beinhaltet die Umformung der allgemeinen quadratischen Gleichung in die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung, mit einem detaillierten Beispiel und Schritt-für-Schritt-Anleitung. Geeignet für Schüler der Klassen 9-11.

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