b) El lunes  gane el cuadrado de lo que gane el martes, pero la mitad de lo que gane el miércoles. Si en total gane menos de 200 soles, ¿Cuánto gané el lunes?

Dado el problema, denotemos:

- \( L \) como lo que gané el lunes.
- \( M \) como lo que gané el martes.
- \( X \) como lo que gané el miércoles.

Según el enunciado:

1. **El lunes gané el cuadrado de lo que gané el martes**:  
   \[ L = M^2 \]

2. **El lunes gané la mitad de lo que gané el miércoles**:  
   \[ L = \frac{1}{2}X \]

3. **En total gané menos de 200 soles**:  
   \[ L + M + X < 200 \]

### Paso 1: Relacionar las ecuaciones
De las ecuaciones \( L = M^2 \) y \( L = \frac{1}{2}X \), podemos relacionar \( M \) y \( X \) como sigue:
\[
M^2 = \frac{1}{2}X \implies X = 2M^2
\]
Esto implica que:
\[
L + M + X < 200
\]

Sustituyendo \( L \) y \( X \) en la ecuación de la suma:
\[
M^2 + M + 2M^2 < 200 
\]

### Paso 2: Simplificar la desigualdad
Simplificamos la ecuación:
\[
3M^2 + M < 200
\]

### Paso 3: Resolver la desigualdad cuadrática
Para encontrar el valor de \( M \), podemos resolver la ecuación cuadrática aproximada:
\[
3M^2 + M - 200 = 0
\]

Usando la fórmula cuadrática:
\[
M = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 3 \), \( b = 1 \), y \( c = -200 \).

Veamos el cálculo:

\[
M = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2400}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{2401}}{6}
\]

\[
\sqrt{2401} = 49
\]

\[
M = \frac{-1 \pm 49}{6}
\]

Esto da dos soluciones posibles:
\[
M = \frac{48}{6} = 8 \quad \text{o} \quad M = \frac{-50}{6} \quad (\text{no tiene sentido porque es negativa})
\]

Por lo tanto, \( M = 8 \).

### Paso 4: Determinar cuánto gané el lunes
Ya que \( L = M^2 \):
\[
L = 8^2 = 64
\]

**Conclusión**: El lunes gané **64 soles**.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática paso a paso?
2. ¿Qué otros métodos pueden usarse para resolver la desigualdad \( 3M^2 + M < 200 \)?
3. ¿Cómo interpretar problemas similares de matemáticas aplicadas en finanzas?
4. ¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado si el discriminante es negativo?
5. ¿Cuáles son las propiedades de los números cuadráticos en problemas de este tipo?

**Tip:** Al resolver ecuaciones cuadráticas, verifica si puedes factorizar antes de usar la fórmula cuadrática, ya que esto podría simplificar los cálculos.

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