Gegeben ist eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche. Die Seitenlängen der Grundfläche betragen a=3 und b=2 cm
 
 und
 
, die Seitenkanten der Pyramide haben alle die Länge s= 5cm
 
 (vgl. Skizze).

Berechnen Sie die Höhen h(a)
 und h(b)
 der Seitenflächen mit Grundseite a,b
 bzw. 
, sowie die Höhe h der Pyramide.
Berechnen Sie des weiteren das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
Rechnen Sie mit den exakten Werten und runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

Um die gestellten Aufgaben zu lösen, gehen wir Schritt für Schritt vor. Zuerst berechnen wir die Höhen der Seitenflächen \( h(a) \) und \( h(b) \), dann die Höhe \( h \) der Pyramide, gefolgt vom Volumen und der Oberfläche der Pyramide.

### 1. Höhe \( h(a) \) der Seitenfläche mit Grundseite \( a = 3 \, \text{cm} \)

Die Höhe der Seitenfläche mit Grundseite \( a \) (also die Höhe einer der beiden Dreiecke, die auf der Seite \( a \) stehen), lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Hier ist die Seitenkante \( s = 5 \, \text{cm} \) und die halbe Seitenlänge der Grundseite \( \frac{a}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \, \text{cm} \).

Die Höhe \( h(a) \) ergibt sich aus:
\[
h(a) = \sqrt{s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 1.5^2} = \sqrt{25 - 2.25} = \sqrt{22.75} \approx 4.77 \, \text{cm}
\]

### 2. Höhe \( h(b) \) der Seitenfläche mit Grundseite \( b = 2 \, \text{cm} \)

Für die Höhe der Seitenfläche mit Grundseite \( b \) berechnen wir die Höhe eines der beiden Dreiecke, die auf der Seite \( b \) stehen. Hier ist die halbe Seitenlänge \( \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, \text{cm} \).

Die Höhe \( h(b) \) ergibt sich aus:
\[
h(b) = \sqrt{s^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 1^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} \approx 4.90 \, \text{cm}
\]

### 3. Höhe \( h \) der Pyramide

Die Höhe der Pyramide steht senkrecht auf der Grundfläche. Um \( h \) zu berechnen, verwenden wir wieder den Satz des Pythagoras. Der Abstand zwischen der Spitze der Pyramide und dem Mittelpunkt der Grundfläche ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die halben Seitenlängen \( \frac{a}{2} \) und \( \frac{b}{2} \) sind.

Zuerst berechnen wir den Abstand \( d \) des Schwerpunkts der Grundfläche zur Mitte einer Kante:
\[
d = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{1.5^2 + 1^2} = \sqrt{2.25 + 1} = \sqrt{3.25} \approx 1.80 \, \text{cm}
\]

Jetzt können wir die Höhe \( h \) berechnen:
\[
h = \sqrt{s^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 1.80^2} = \sqrt{25 - 3.24} = \sqrt{21.76} \approx 4.66 \, \text{cm}
\]

### 4. Volumen der Pyramide

Das Volumen \( V \) einer Pyramide berechnet sich nach der Formel:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}
\]
Die Grundfläche der rechteckigen Basis ist:
\[
\text{Grundfläche} = a \cdot b = 3 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm}^2
\]
Damit ergibt sich das Volumen zu:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4.66 \approx 9.32 \, \text{cm}^3
\]

### 5. Oberfläche der Pyramide

Die Oberfläche \( O \) der Pyramide setzt sich zusammen aus der Grundfläche und den vier Seitenflächen (zwei Dreiecke mit Grundseite \( a \) und zwei Dreiecke mit Grundseite \( b \)).

Zuerst berechnen wir die Flächen der Seitenflächen:
\[
\text{Fläche einer Seitenfläche mit Grundseite } a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h(a) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4.77 \approx 7.16 \, \text{cm}^2
\]
\[
\text{Fläche einer Seitenfläche mit Grundseite } b = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h(b) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4.90 \approx 4.90 \, \text{cm}^2
\]
Die gesamte Oberfläche ergibt sich aus:
\[
O = \text{Grundfläche} + 2 \cdot \text{Fläche der Seitenfläche mit } a + 2 \cdot \text{Fläche der Seitenfläche mit } b
\]
\[
O = 6 + 2 \cdot 7.16 + 2 \cdot 4.90 = 6 + 14.32 + 9.80 = 30.12 \, \text{cm}^2
\]

### Zusammenfassung der Ergebnisse:
- Höhe der Seitenfläche \( h(a) \): \( 4.77 \, \text{cm} \)
- Höhe der Seitenfläche \( h(b) \): \( 4.90 \, \text{cm} \)
- Höhe der Pyramide \( h \): \( 4.66 \, \text{cm} \)
- Volumen \( V \): \( 9.32 \, \text{cm}^3 \)
- Oberfläche \( O \): \( 30.12 \, \text{cm}^2 \)

Hast du Fragen oder möchtest du weitere Details? Hier sind ein paar verwandte Fragen:

1. Wie verändert sich das Volumen der Pyramide, wenn die Seitenkantenlänge \( s \) verdoppelt wird?
2. Wie ändert sich die Höhe der Pyramide, wenn \( a \) und \( b \) gleich groß sind?
3. Wie wird das Volumen einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche berechnet?
4. Welchen Einfluss hat eine Änderung der Grundfläche auf die Höhe der Pyramide?
5. Wie berechnet man das Volumen und die Oberfläche einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche?

**Tipp**: Für Volumen- und Oberflächenberechnungen geometrischer Körper ist es immer hilfreich, mit den exakten Formeln zu arbeiten und erst am Ende die Rundung vorzunehmen.

Gegeben ist eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche. Die Seitenlängen der Grundfläche betragen a=3 und b=2 cm, und die Seitenkanten der Pyramide haben alle die Länge s= 5 cm. Berechnen Sie die Höhen h(a) und h(b) der Seitenflächen mit Grundseite a,b, sowie die Höhe h der Pyramide. Berechnen Sie des Weiteren das Volumen und die Oberfläche der Pyramide. Rechnen Sie mit den exakten Werten und runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

Lernen Sie, wie man die Höhe, das Volumen und die Oberfläche einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche (a=3 cm, b=2 cm, s=5 cm) berechnet. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras und exakte Werte, um die Seitenhöhen h(a) und h(b), die Höhe der Pyramide sowie Volumen und Oberfläche zu bestimmen. Geeignet für Schüler der Klassen 10-12.

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