c) Ángel compro cierto número de latas de gaseosa por 240 soles. Si hubiera comprado 3 latas más por el mismo dinero, cada lata le hubiera costado 4 soles menos. ¿cuántas latas compro y a que precio?


Vamos a resolver el problema paso a paso:

### Paso 1: Definir variables
- Sea \( x \) el número de latas que Ángel compró.
- Sea \( p \) el precio por cada lata.

De acuerdo con el enunciado, Ángel pagó un total de 240 soles por \( x \) latas:
\[
x \cdot p = 240
\]

Además, si hubiera comprado 3 latas más por el mismo dinero, el precio por lata habría sido 4 soles menos. Esto significa que:
\[
(x + 3) \cdot (p - 4) = 240
\]

### Paso 2: Desarrollar las ecuaciones
Ahora tenemos dos ecuaciones:
1. \( x \cdot p = 240 \)
2. \( (x + 3) \cdot (p - 4) = 240 \)

Desarrollamos la segunda ecuación:
\[
xp - 4x + 3p - 12 = 240
\]

Sustituyendo \( xp = 240 \) en la ecuación:
\[
240 - 4x + 3p - 12 = 240
\]

Simplificamos:
\[
-4x + 3p - 12 = 0
\]
\[
3p = 4x + 12
\]
\[
p = \frac{4x + 12}{3}
\]

### Paso 3: Sustituir en la primera ecuación
Sustituimos \( p \) en la primera ecuación \( x \cdot p = 240 \):
\[
x \cdot \frac{4x + 12}{3} = 240
\]
Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador:
\[
x(4x + 12) = 720
\]
Distribuimos \( x \) en la ecuación:
\[
4x^2 + 12x = 720
\]
Dividimos toda la ecuación por 4 para simplificar:
\[
x^2 + 3x = 180
\]
Restamos 180 de ambos lados para igualar a 0:
\[
x^2 + 3x - 180 = 0
\]

### Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 1 \), \( b = 3 \), y \( c = -180 \):
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm 27}{2}
\]

Esto nos da dos posibles soluciones:
1. \( x = \frac{24}{2} = 12 \)
2. \( x = \frac{-30}{2} = -15 \) (no tiene sentido porque el número de latas no puede ser negativo)

Por lo tanto, \( x = 12 \).

### Paso 5: Calcular el precio por lata
Sustituyendo \( x = 12 \) en la ecuación original \( x \cdot p = 240 \):
\[
12 \cdot p = 240 \implies p = \frac{240}{12} = 20
\]

**Conclusión**: Ángel compró **12 latas** a un precio de **20 soles por lata**.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas cuando el discriminante es un cuadrado perfecto?
2. ¿Qué pasos seguir para verificar la solución de un problema?
3. ¿Cómo afectan los cambios en cantidad y precio en problemas de optimización?
4. ¿Qué otras aplicaciones tiene la fórmula cuadrática en problemas financieros?
5. ¿Cómo se podría abordar el problema usando métodos gráficos?

**Tip:** Siempre revisa la consistencia de tu solución sustituyéndola de nuevo en las ecuaciones originales para verificar que cumpla todas las condiciones del problema.

Learn how to solve Ángel's problem involving the purchase of soda cans for a certain amount of money. Understand the steps to determine the number of cans purchased and their price, covering algebraic concepts such as equations and quadratic equations. Suitable for students in Grades 7-9.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation