Resolver los sistemas convexos                                                                                                                                                         4x+10y <=  20
        8x + 5y  <=  25
           x          >  3
                   y   <  7

Para resolver este sistema de desigualdades (o sistema convexo), vamos a analizar las restricciones y encontrar la región factible, que es la intersección de las soluciones de todas las desigualdades. Luego, identificaremos si existe una solución que maximiza o minimiza alguna función objetivo, si se plantea alguna. 

Las desigualdades del sistema son:

1. \( 4x + 10y \leq 20 \)
2. \( 8x + 5y \leq 25 \)
3. \( x > 3 \)
4. \( y < 7 \)

### Paso 1: Resolver las desigualdades y encontrar las intersecciones
Primero, resolveremos cada desigualdad para ver cómo se comportan en el plano \( xy \).

#### Desigualdad 1: \( 4x + 10y \leq 20 \)
Dividiendo toda la desigualdad por 2:
\[ 2x + 5y \leq 10 \]
Podemos escribir esto en forma de ecuación para encontrar la frontera:
\[ 2x + 5y = 10 \]
- Si \( x = 0 \): \( y = 2 \)
- Si \( y = 0 \): \( x = 5 \)

Entonces, la línea pasa por los puntos \( (0, 2) \) y \( (5, 0) \).

#### Desigualdad 2: \( 8x + 5y \leq 25 \)
Aquí también consideramos la igualdad:
\[ 8x + 5y = 25 \]
- Si \( x = 0 \): \( y = 5 \)
- Si \( y = 0 \): \( x = \frac{25}{8} \approx 3.125 \)

La línea pasa por los puntos \( (0, 5) \) y \( \left(\frac{25}{8}, 0\right) \).

#### Desigualdad 3: \( x > 3 \)
Esta es una línea vertical en \( x = 3 \), pero la solución es para los valores a la derecha de esta línea.

#### Desigualdad 4: \( y < 7 \)
Esta es una línea horizontal en \( y = 7 \), pero la solución es para los valores por debajo de esta línea.

### Paso 2: Determinar la región factible
La región factible será la intersección de todas las regiones obtenidas de las desigualdades anteriores. Dado que el sistema incluye una desigualdad estricta (\( x > 3 \)), la solución estará abierta a la derecha de \( x = 3 \).

### Paso 3: Determinar los vértices de la región factible
Los puntos de intersección relevantes son:
1. Intersección de \( 2x + 5y = 10 \) con \( 8x + 5y = 25 \).
2. Intersección de \( x = 3 \) con las rectas dadas.

Vamos a resolver las intersecciones:

**Intersección entre las rectas** \( 2x + 5y = 10 \) y \( 8x + 5y = 25 \):

Restando ambas ecuaciones:
\[
(8x + 5y) - (2x + 5y) = 25 - 10
\]
\[
6x = 15 \Rightarrow x = 2.5
\]
Sustituyendo \( x = 2.5 \) en \( 2x + 5y = 10 \):
\[
2(2.5) + 5y = 10 \Rightarrow 5 + 5y = 10 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1
\]
Así que el punto de intersección es \( (2.5, 1) \).

**Intersección de \( x = 3 \) con \( 2x + 5y = 10 \):**
Sustituyendo \( x = 3 \) en \( 2x + 5y = 10 \):
\[
2(3) + 5y = 10 \Rightarrow 6 + 5y = 10 \Rightarrow 5y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{5} = 0.8
\]
El punto de intersección es \( (3, 0.8) \).

**Intersección de \( x = 3 \) con \( 8x + 5y = 25 \):**
Sustituyendo \( x = 3 \) en \( 8x + 5y = 25 \):
\[
8(3) + 5y = 25 \Rightarrow 24 + 5y = 25 \Rightarrow 5y = 1 \Rightarrow y = 0.2
\]
El punto de intersección es \( (3, 0.2) \).

### Paso 4: Conclusión
La región factible está delimitada por los puntos \( (3, 0.8) \), \( (3, 0.2) \) y \( (2.5, 1) \).

Si hay una función objetivo a maximizar o minimizar, podríamos evaluar estos puntos. Si no, simplemente esta región es la solución del sistema.

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¿Quieres más detalles sobre cómo se resolvieron las intersecciones o tienes alguna otra pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se encuentra la intersección de dos líneas en el plano?
2. ¿Cómo se resuelven sistemas de desigualdades lineales en dos variables?
3. ¿Cómo afecta una desigualdad estricta a la región factible?
4. ¿Qué aplicaciones tienen los sistemas convexos en la optimización lineal?
5. ¿Qué es una función objetivo en el contexto de un sistema de desigualdades?

**Tip:** Los sistemas de desigualdades son una herramienta clave en la programación lineal, donde se busca optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal sujeta a restricciones.

Aprende a resolver sistemas de desigualdades lineales usando el método de las regiones factibles. Este ejemplo detallado incluye paso a paso cómo determinar la región factible para un sistema de desigualdades dado. Adecuado para estudiantes de secundaria interesados en matemáticas avanzadas.

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