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Para resolver las ecuaciones que se muestran en la imagen, necesitamos encontrar la **velocidad instantánea** para cada función de posición \( f(t) \) en el valor de \( t \) especificado. La velocidad instantánea se obtiene calculando la derivada de \( f(t) \) con respecto al tiempo \( t \), y luego evaluando esa derivada en el valor dado de \( t \).

### a. \( f(t) = 4t^2 + 1 \), para \( t = 5 \) seg
1. Derivada: \( f'(t) = \frac{d}{dt} (4t^2 + 1) = 8t \)
2. Evaluación en \( t = 5 \): \( f'(5) = 8(5) = 40 \) m/s

### b. \( f(t) = \frac{1}{3t} \), para \( t = 0.5 \) seg
1. Derivada: \( f'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{3t}\right) = -\frac{1}{3t^2} \)
2. Evaluación en \( t = 0.5 \): \( f'(0.5) = -\frac{1}{3(0.5)^2} = -\frac{1}{3(0.25)} = -\frac{1}{0.75} \approx -1.33 \) m/s

### c. \( f(t) = \frac{50}{t^2} \), para \( t = 4 \) seg
1. Derivada: \( f'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{50}{t^2}\right) = -\frac{100}{t^3} \)
2. Evaluación en \( t = 4 \): \( f'(4) = -\frac{100}{4^3} = -\frac{100}{64} \approx -1.56 \) m/s

### d. \( f(t) = \sqrt{t + 1} \), para \( t = 2 \) seg
1. Derivada: \( f'(t) = \frac{d}{dt} \left(\sqrt{t + 1}\right) = \frac{1}{2\sqrt{t + 1}} \)
2. Evaluación en \( t = 2 \): \( f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{2 + 1}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.2887 \) m/s

### e. \( f(t) = \frac{1}{\sqrt{t + 2}} \), para \( t = 4 \) seg
1. Derivada: \( f'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{\sqrt{t + 2}}\right) = -\frac{1}{2(t + 2)^{3/2}} \)
2. Evaluación en \( t = 4 \): \( f'(4) = -\frac{1}{2(4 + 2)^{3/2}} = -\frac{1}{2(6)^{3/2}} \approx -0.068 \) m/s

### f. \( f(t) = 2t^2 + 4t \), para \( t = 8 \) seg
1. Derivada: \( f'(t) = \frac{d}{dt} \left(2t^2 + 4t\right) = 4t + 4 \)
2. Evaluación en \( t = 8 \): \( f'(8) = 4(8) + 4 = 32 + 4 = 36 \) m/s

¿Te gustaría más detalles sobre algún cálculo o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta físicamente la derivada de una función de posición?
2. ¿Cómo se calcula la aceleración instantánea a partir de una función de velocidad?
3. ¿Qué diferencia hay entre velocidad media y velocidad instantánea?
4. ¿Cómo afectan las unidades de tiempo y posición en la derivada?
5. ¿Qué ocurre si la función de posición no es diferenciable en algún punto?

### Tip:
Siempre verifica que la función sea continua y derivable en el punto donde deseas calcular la velocidad instantánea.

Aprende cómo resolver ecuaciones para encontrar la velocidad instantánea de funciones de posición específicas en diferentes puntos de tiempo. Este problema cubre conceptos clave como derivadas, velocidades instantáneas y evaluación de funciones. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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