Resolver por sustitucion: ∫ (x√1 + x) 𝑑x

Para resolver la integral \(\int x\sqrt{1 + x} \, dx\) mediante sustitución, seguimos estos pasos:

1. **Elegir una sustitución adecuada:**

   Notamos que la expresión \(1 + x\) está dentro de la raíz, por lo que podemos hacer la sustitución:
   \[
   u = 1 + x
   \]
   Entonces, derivando respecto a \(x\):
   \[
   \frac{du}{dx} = 1 \quad \Rightarrow \quad du = dx
   \]

   Además, como \(u = 1 + x\), entonces \(x = u - 1\).

2. **Reescribir la integral en términos de \(u\):**

   Sustituyendo \(x = u - 1\) y \(dx = du\) en la integral original:
   \[
   \int x\sqrt{1 + x} \, dx = \int (u - 1)\sqrt{u} \, du
   \]

3. **Expandir y simplificar la integral:**

   Ahora, expandimos el producto dentro de la integral:
   \[
   \int (u - 1)\sqrt{u} \, du = \int \left(u\sqrt{u} - \sqrt{u}\right) \, du
   \]
   Sabemos que \(\sqrt{u} = u^{1/2}\), entonces:
   \[
   \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right) \, du
   \]

4. **Integrar término a término:**

   Integramos cada término por separado:
   \[
   \int u^{3/2} \, du - \int u^{1/2} \, du
   \]

   - Para el primer término:
     \[
     \int u^{3/2} \, du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} u^{5/2}
     \]

   - Para el segundo término:
     \[
     \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}
     \]

   Así que la integral se convierte en:
   \[
   \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} + C
   \]

5. **Sustituir de nuevo en términos de \(x\):**

   Recordando que \(u = 1 + x\), sustituimos de vuelta:
   \[
   \frac{2}{5} (1 + x)^{5/2} - \frac{2}{3} (1 + x)^{3/2} + C
   \]

Por lo tanto, la solución de la integral es:
\[
\int x\sqrt{1 + x} \, dx = \frac{2}{5} (1 + x)^{5/2} - \frac{2}{3} (1 + x)^{3/2} + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se puede verificar la solución de una integral?
2. ¿Cuál es el procedimiento para resolver integrales por partes?
3. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver integrales complicadas?
4. ¿Cómo se aplica la sustitución trigonométrica en integrales?
5. ¿Qué es la integración por fracciones parciales?

**Tip:** En integrales, la elección adecuada de la sustitución es crucial para simplificar el problema.

Aprende cómo resolver la integral ∫ (x√1 + x) 𝑑x utilizando el método de sustitución. Este problema cubre conceptos clave de integración y sustitución en cálculo avanzado. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada y universitarios.

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