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La integral que necesitas resolver es:

\[
\int \frac{3x - 1}{x^2 - x + 1} \, dx
\]

Para resolver esta integral, podemos utilizar un cambio de variable adecuado o intentar descomponer la fracción.

### Paso 1: Cambio de variable
Notemos que el denominador es una derivada parcial del numerador más una constante, lo que sugiere un cambio de variable.

Sea \( u = x^2 - x + 1 \), entonces:

\[
\frac{du}{dx} = 2x - 1
\]

Pero aquí no coincide directamente, así que consideramos otro enfoque.

### Paso 2: Descomposición
Podemos intentar descomponer la integral o aplicar algún método de simplificación algebraica.

Dividamos \( \frac{3x - 1}{x^2 - x + 1} \) de tal manera que la parte restante sea más fácil de integrar.

\[
\frac{3x - 1}{x^2 - x + 1} = \frac{A \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - x + 1) + B}{x^2 - x + 1}
\]

Donde:

\[
\frac{d}{dx}(x^2 - x + 1) = 2x - 1
\]

Intentamos igualar los coeficientes:

\[
3x - 1 = A(2x - 1) + B
\]

Igualando los coeficientes:

\[
3x - 1 = 2Ax - A + B
\]

Comparando términos:

- \(2A = 3\) lo que implica que \(A = \frac{3}{2}\)
- \(-A + B = -1\), lo que implica que \(B = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\)

Entonces, podemos reescribir la integral como:

\[
\int \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 - x + 1}\right) dx
\]

### Paso 3: Integración
Ahora integramos cada término por separado.

1. \(\int \frac{3}{2} \cdot \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} dx\):
   
   Este término se puede integrar directamente como \( \frac{3}{2} \ln|x^2 - x + 1| \).

2. \(\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 - x + 1} dx\):

   Aquí podemos completar el cuadrado en el denominador: \(x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\).

   Usando la fórmula estándar para integrales de la forma \(\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)\), obtenemos:

   \[
   \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right)
   \]

### Respuesta Final
Por lo tanto, la integral es:

\[
\frac{3}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C
\]

¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas
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6. ¿Cuándo es útil descomponer una fracción antes de integrar?
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8. ¿Cómo se identifican integrales que requieren simplificación algebraica?

### Tip
Al trabajar con integrales complicadas, intenta simplificar la expresión inicial mediante técnicas como completar el cuadrado, descomposición de fracciones, o sustituciones adecuadas antes de integrar directamente.

Aprende cómo resolver la integral ∫ (3x - 1)/(x^2 - x + 1) dx paso a paso con una solución detallada. Este problema cubre conceptos clave de cálculo integral, incluyendo la descomposición en fracciones parciales y la integración por partes. Adecuado para estudiantes de nivel universitario.

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