Sección 13.2 Movimiento armónico simple
 13.5. Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de 5.00
 Hz y amplitud de 1.80 cm. ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x 5 0 a x 5
 21.80 cm?

Para resolver este problema de Movimiento Armónico Simple (MAS), vamos a seguir los siguientes pasos:

### Datos proporcionados:
- Frecuencia (\( f \)) = 5.00 Hz
- Amplitud (\( A \)) = 1.80 cm = 0.018 m
- Posición inicial (\( x_0 \)) = 0
- Posición final (\( x_f \)) = -1.80 cm = -0.018 m

### Paso 1: Calcular el periodo del movimiento (\( T \))
El periodo \( T \) se relaciona con la frecuencia \( f \) mediante la fórmula:
\[
T = \frac{1}{f}
\]
Sustituyendo el valor de la frecuencia:
\[
T = \frac{1}{5.00 \, \text{Hz}} = 0.200 \, \text{s}
\]

### Paso 2: Expresión de la posición en función del tiempo
La posición \( x(t) \) en un MAS está dada por:
\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
\]
donde:
- \( \omega = 2\pi f \) es la frecuencia angular,
- \( \phi \) es la fase inicial.

Dado que \( x(0) = x_0 = 0 \), podemos determinar la fase inicial \( \phi \):
\[
0 = A \cos(\phi)
\]
Para \( \cos(\phi) = 0 \), \( \phi = \frac{\pi}{2} \) o \( \phi = \frac{3\pi}{2} \).

### Paso 3: Calcular el tiempo que tarda en ir de \( x = 0 \) a \( x = -1.80 \, \text{cm} \)
Ahora, cuando la pieza está en \( x = -0.018 \, \text{m} \):
\[
-0.018 = 0.018 \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)
\]
Dividimos ambos lados por la amplitud:
\[
\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = -1
\]
Esto ocurre cuando el ángulo es \( \omega t + \frac{\pi}{2} = \pi \), por lo que:
\[
\omega t = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}
\]
Finalmente, el tiempo \( t \) se calcula como:
\[
t = \frac{\frac{\pi}{2}}{\omega} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi f} = \frac{1}{4f} = \frac{1}{4 \times 5.00 \, \text{Hz}} = 0.050 \, \text{s}
\]

### Respuesta:
El tiempo que tarda la pieza en ir de \( x = 0 \) a \( x = -1.80 \, \text{cm} \) es de **0.050 segundos**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo afecta la amplitud a la energía total en un MAS?
2. ¿Qué relación existe entre la frecuencia angular y el periodo de un MAS?
3. ¿Cómo se determina la fase inicial en un MAS con diferentes condiciones iniciales?
4. ¿Qué pasaría con el tiempo calculado si la frecuencia se duplicara?
5. ¿Cómo se relaciona la velocidad máxima con la amplitud y la frecuencia?

**Tip:** En un MAS, la aceleración es máxima cuando la posición es máxima (en los extremos de la oscilación).

Aprende a resolver problemas de Movimiento Armónico Simple (MAS) con un ejemplo práctico. Este problema específico aborda cómo calcular el tiempo que tarda una pieza de máquina en desplazarse de una posición inicial a una posición final dadas la frecuencia y la amplitud del movimiento.

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