Soit la suite U(n) définie sur l'ensemble N par U(0)=2 et U(n+1)=2/3*U(n)+1/3*n+1. Calculer les 5 premier termes de la suite. Puis, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite

La suite \( U(n) \) est définie par récurrence avec \( U(0) = 2 \) et la relation de récurrence suivante : 

\[
U(n+1) = \frac{2}{3} U(n) + \frac{1}{3} n + 1
\]

Calculons les cinq premiers termes de la suite.

### Calcul des termes

1. **\( U(0) = 2 \)** (valeur initiale donnée)
   
2. **\( U(1) \)** : en utilisant la relation de récurrence pour \( n = 0 \),
   \[
   U(1) = \frac{2}{3} U(0) + \frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = \frac{2}{3} \cdot 2 + 1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}
   \]

3. **\( U(2) \)** : en utilisant la relation de récurrence pour \( n = 1 \),
   \[
   U(2) = \frac{2}{3} U(1) + \frac{1}{3} \cdot 1 + 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{3} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{14}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{14}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{26}{9}
   \]

4. **\( U(3) \)** : en utilisant la relation de récurrence pour \( n = 2 \),
   \[
   U(3) = \frac{2}{3} U(2) + \frac{1}{3} \cdot 2 + 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{26}{9} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{52}{27} + \frac{18}{27} + \frac{27}{27} = \frac{97}{27}
   \]

5. **\( U(4) \)** : en utilisant la relation de récurrence pour \( n = 3 \),
   \[
   U(4) = \frac{2}{3} U(3) + \frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{97}{27} + \frac{3}{3} + 1 = \frac{194}{81} + \frac{27}{81} + \frac{81}{81} = \frac{302}{81}
   \]

### Résultats
Les cinq premiers termes de la suite sont donc :
\[
U(0) = 2, \quad U(1) = \frac{7}{3}, \quad U(2) = \frac{26}{9}, \quad U(3) = \frac{97}{27}, \quad U(4) = \frac{302}{81}
\]

### Conjecture sur le sens de variation de la suite
La suite semble **croissante**, car les termes augmentent à chaque étape. On peut formuler la conjecture suivante : la suite \( U(n) \) est croissante à partir de \( n = 0 \).

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions en rapport avec ce problème :
1. Comment prouver que la suite est monotone croissante ?
2. Existe-t-il une forme explicite de \( U(n) \) pour généraliser le comportement de la suite ?
3. Que se passe-t-il si on modifie les coefficients de la relation de récurrence ?
4. Comment déterminer la limite de la suite si elle existe ?
5. Quelle est la nature des suites définies par récurrence linéaire du second ordre ?

**Astuce** : Pour analyser le sens de variation d'une suite récurrente, étudier la différence \( U(n+1) - U(n) \) est souvent une méthode efficace.

Soit la suite U(n) définie sur l'ensemble N par U(0)=2 et U(n+1)=2/3*U(n)+1/3*n+1. Calculer les 5 premiers termes de la suite. Puis, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite.

Discover how to calculate the first five terms of the recurrence sequence U(n) defined by U(0) = 2 and U(n+1) = (2/3)U(n) + (1/3)n + 1. This detailed solution explores sequences and their growth patterns. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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