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Para resolver el ejercicio 51, que pide hallar la longitud de arco para las ecuaciones paramétricas \(x = 6t^2\) y \(y = 2t^3\) en el intervalo \(1 \leq t \leq 4\), utilizaremos la fórmula de longitud de arco para curvas parametrizadas:

\[
L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt
\]

### Paso 1: Derivadas de \(x\) y \(y\) con respecto a \(t\)

Primero, encontramos las derivadas de \(x\) y \(y\) respecto a \(t\):

\[
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2) = 12t
\]
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3) = 6t^2
\]

### Paso 2: Sustituimos en la fórmula de la longitud de arco

Ahora sustituimos estas derivadas en la fórmula de la longitud de arco:

\[
L = \int_{1}^{4} \sqrt{(12t)^2 + (6t^2)^2} \, dt
\]

\[
L = \int_{1}^{4} \sqrt{144t^2 + 36t^4} \, dt
\]

Factorizamos dentro de la raíz:

\[
L = \int_{1}^{4} \sqrt{36t^2(4 + t^2)} \, dt
\]

\[
L = \int_{1}^{4} 6t\sqrt{4 + t^2} \, dt
\]

### Paso 3: Resolución de la integral

Esta es una integral que requiere un método de sustitución. Sea \(u = 4 + t^2\), entonces \(du = 2t \, dt\). Transformamos la integral:

\[
L = 3 \int_{1}^{4} 2t \sqrt{4 + t^2} \, dt = 3 \int_{u=5}^{u=20} \sqrt{u} \, du
\]

La integral de \(\sqrt{u}\) es:

\[
\int \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2}
\]

### Paso 4: Evaluamos la integral

Evaluamos la integral en los límites \(u = 5\) y \(u = 20\):

\[
L = 3 \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{5}^{20}
\]

Simplificamos:

\[
L = 2 \left[ u^{3/2} \right]_{5}^{20}
\]

\[
L = 2 \left[ 20^{3/2} - 5^{3/2} \right]
\]

\[
L = 2 \left[ 20\sqrt{20} - 5\sqrt{5} \right]
\]

### Paso 5: Resultado numérico

Ahora calculamos el valor numérico:

\[
L = 2 \left[ 20(4.4721) - 5(2.2361) \right]
\]

\[
L \approx 2 \left[ 89.442 - 11.180 \right]
\]

\[
L \approx 2 \times 78.262 = 156.524
\]

Por lo tanto, la longitud de arco es aproximadamente **156.524 unidades**.

¿Te gustaría que explique algún paso en más detalle o resolver alguna otra parte del ejercicio? 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deduce la fórmula de longitud de arco para curvas parametrizadas?
2. ¿Qué otros métodos de integración podrían usarse para resolver este tipo de integrales?
3. ¿Cómo se deriva la fórmula de sustitución usada en la integral?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de la longitud de arco?
5. ¿Qué ocurre si cambiamos el intervalo de integración?

### Tip: Al resolver integrales complicadas, las sustituciones inteligentes como \(u = 4 + t^2\) pueden simplificar enormemente el problema.

Learn how to solve the arc length for the parametric equations x = 6t² and y = 2t³ over the interval 1 ≤ t ≤ 4. This solution uses calculus techniques, including differentiation and substitution, to calculate the arc length. Suitable for undergraduate calculus students.

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