Propose moi une phrase où tu dois conjecturer une variation de suite récurrente.

Voici une phrase où je dois conjecturer une variation d'une suite récurrente :

« Soit la suite \( u_n \) définie par la relation de récurrence \( u_{n+1} = 2u_n + 3 \), avec \( u_0 = 1 \). Je conjecture que cette suite est croissante et tend vers l'infini lorsque \( n \) tend vers l'infini. »

Souhaites-tu une explication détaillée sur la méthode pour vérifier cette conjecture ?

### Questions relatives :
1. Comment peut-on démontrer rigoureusement que la suite est croissante ?
2. Quelle est la forme explicite de la suite si elle est linéaire ?
3. Existe-t-il une autre suite similaire, mais décroissante ?
4. Comment généraliser cette suite avec un paramètre arbitraire dans la récurrence ?
5. Comment se comporte la suite si on modifie le terme constant dans la récurrence ?

### Astuce :
Pour résoudre une récurrence linéaire comme celle-ci, il peut être utile d'examiner les solutions homogènes et particulières.

Explore how to conjecture the behavior of a recurrence relation defined by u_{n+1} = 2u_n + 3. This example examines whether the sequence is monotonic and tends to infinity as n approaches infinity. Aimed at students in Grades 10-12, it includes related mathematical concepts, formulas, and theorems.

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