Soit la suite U(n) définie sur l'ensemble N par U(0)=2 et U(n+1)=2/3*U(n)+(1/3*n)+1. Pour tout entier naturel n, on a u(n)≤n+3. On a aussi u(n+1)-u(n)=1/3(n+3-u(n)). De plus, on a la suite géométrique de raison 2/3 suivante : v(n)=u(n)-n. En déduire que pour tout entier naturel n, u(n)=2*(2/3)^n+n.

Pour démontrer que \( u(n) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n + n \) pour tout entier naturel \( n \), nous allons suivre les différentes étapes logiques et utiliser les informations fournies.

### Étape 1 : Analyse de la récurrence de la suite

On nous donne la récurrence suivante :

\[
U(n+1) = \frac{2}{3} U(n) + \frac{1}{3} n + 1
\]

Nous savons également que \( U(0) = 2 \), ce qui nous permettra d'établir une solution explicite.

### Étape 2 : Définition de la suite \( v(n) \)

On introduit la suite auxiliaire \( v(n) = u(n) - n \). Cette nouvelle suite \( v(n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{2}{3} \), ce qui simplifie l'analyse.

En utilisant la récurrence de \( u(n) \), nous allons exprimer la récurrence pour \( v(n) \).

1. D'abord, écrivons \( u(n+1) = v(n+1) + (n+1) \), et de même \( u(n) = v(n) + n \).

2. En substituant dans la relation de récurrence pour \( u(n+1) \) :
   \[
   v(n+1) + (n+1) = \frac{2}{3} (v(n) + n) + \frac{1}{3} n + 1
   \]

3. Simplifions cette équation :
   \[
   v(n+1) + n + 1 = \frac{2}{3} v(n) + \frac{2}{3} n + \frac{1}{3} n + 1
   \]
   \[
   v(n+1) + n + 1 = \frac{2}{3} v(n) + n + 1
   \]

4. On soustrait \( n + 1 \) des deux côtés de l'égalité :
   \[
   v(n+1) = \frac{2}{3} v(n)
   \]

Nous obtenons ainsi une récurrence pour \( v(n) \) qui montre bien que \( v(n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{2}{3} \).

### Étape 3 : Expression explicite de \( v(n) \)

Puisque \( v(n+1) = \frac{2}{3} v(n) \), nous savons que la solution générale de cette suite géométrique est de la forme :
\[
v(n) = v(0) \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n
\]

Nous avons également \( u(0) = 2 \), donc \( v(0) = u(0) - 0 = 2 \). Cela nous donne :
\[
v(n) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n
\]

### Étape 4 : Conclusion pour \( u(n) \)

Puisque \( u(n) = v(n) + n \), nous avons donc :
\[
u(n) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n + n
\]

Cela conclut la démonstration que pour tout entier naturel \( n \), \( u(n) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n + n \).

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### Résumé

Nous avons démontré que \( u(n) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n + n \) en utilisant une suite auxiliaire \( v(n) = u(n) - n \), qui suit une progression géométrique de raison \( \frac{2}{3} \).

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**Avez-vous des questions ou aimeriez-vous plus de détails ?**

Voici 5 questions pour approfondir cette discussion :
1. Comment vérifier la validité de la solution pour un \( n \) particulier ?
2. Comment la suite \( u(n) \) se comporte-t-elle à long terme, quand \( n \to \infty \) ?
3. Que se passerait-il si la raison géométrique changeait dans la récurrence ?
4. Pouvez-vous adapter cette méthode à une autre récurrence similaire ?
5. Quels sont les avantages d'introduire des suites auxiliaires dans la résolution de récurrences ?

**Tip :** Quand une suite géométrique est impliquée dans une récurrence, exprimer la suite en termes d'une progression géométrique simplifie souvent le calcul.

Explore the solution of a recurrence relation where U(n) follows a geometric progression. This problem demonstrates key algebraic concepts, including recurrence relations, geometric sequences, and the derivation of explicit formulas. Suitable for advanced high school math students in Grades 11-12.

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