no entiendo la demostración del paso inductivo 

¡Claro! Vamos a detallar mejor la demostración del paso inductivo.

### Recapitulación de lo que se quiere demostrar

Queremos demostrar que la siguiente igualdad es cierta para todo \( n \) usando inducción matemática:

\[
2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)
\]

Ya comprobamos que la igualdad es cierta para \( n = 1 \) en el **paso base**.

Ahora, asumimos que la igualdad es cierta para algún \( n = k \), es decir:

\[
2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^k\right)
\]

Esto se llama **hipótesis inductiva**.

### Paso inductivo: Demostrar que también es cierto para \( n = k+1 \)

Queremos probar que:

\[
2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\right)
\]

Utilizaremos la hipótesis inductiva para hacer esta demostración.

#### 1. Sumamos \( 2\left(\frac{1}{4}\right)^k \) a ambos lados de la hipótesis inductiva

Sabemos que:
\[
2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^k\right)
\]

Entonces, agregamos \( 2\left(\frac{1}{4}\right)^k \) en ambos lados:

\[
\left(2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^k\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

El lado izquierdo ahora es la suma hasta el término \( k \), que es lo que queremos.

#### 2. Simplificamos el lado derecho

Primero, observamos que:

\[
\frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^k\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{8}{3} - \frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^k + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Ahora, factoricemos \( \left(\frac{1}{4}\right)^k \):

\[
\frac{8}{3} - \left(\frac{8}{3} - 2\right)\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Simplificamos el término entre paréntesis:

\[
\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{8}{3} - 2\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

### 3. Reescribimos el lado derecho

El lado derecho simplificado es:

\[
\frac{8}{3} - 2\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Queremos que esto sea igual a \( \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\right) \).

Expresamos esto como:

\[
\frac{8}{3} \cdot 1 - \frac{8}{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}
\]

Si observamos, el término \( 2\left(\frac{1}{4}\right)^k \) se simplifica con el término que hemos añadido, y lo que queda es:

\[
\frac{8}{3} - \frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}
\]

Esto confirma que:

\[
\frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\right)
\]

### Conclusión del paso inductivo

Hemos demostrado que la igualdad se cumple para \( k+1 \) si se cumple para \( k \). Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, la igualdad es cierta para todo \( n \).

¿Quieres más detalles o alguna explicación adicional?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la simplificación en el proceso de inducción?
2. ¿Qué significa que una serie sea finita o infinita en este contexto?
3. ¿Por qué es importante validar el paso base en inducción matemática?
4. ¿Qué otros métodos existen para demostrar la validez de una serie?
5. ¿Cómo se puede aplicar la inducción matemática en otras áreas de la matemática?

**Tip:** Cuando trabajes con series y sumas, es útil reconocer patrones comunes que pueden facilitar la simplificación o factorización en el proceso de demostración.

Explore the detailed explanation and examples of mathematical induction, focusing on the step-by-step proof process. This problem demonstrates the application of mathematical induction in proving series and sequences. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation