buktikan bahwa matriks erukuran 2 kali 2 atas bilangan bulat operasi + dan dot merupakan ring

Untuk membuktikan bahwa matriks berukuran \(2 \times 2\) dengan entri-entri bilangan bulat di bawah operasi penjumlahan matriks (+) dan perkalian matriks (dot) membentuk suatu ring, kita perlu menunjukkan bahwa struktur ini memenuhi definisi ring.

**Definisi Ring**: Suatu himpunan \( R \) dengan dua operasi biner, biasanya disebut penjumlahan (+) dan perkalian (·), adalah ring jika:

1. **Tertutup terhadap Penjumlahan dan Perkalian**: Jika \( A \) dan \( B \) adalah elemen-elemen dalam \( R \), maka \( A + B \) dan \( A \cdot B \) juga ada dalam \( R \).
2. **Asosiatif terhadap Penjumlahan dan Perkalian**: Untuk semua \( A, B, C \) dalam \( R \), \( A + (B + C) = (A + B) + C \) dan \( A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C \).
3. **Elemen Identitas untuk Penjumlahan (0)**: Ada elemen \( 0 \) dalam \( R \) sedemikian sehingga untuk setiap \( A \) dalam \( R \), \( A + 0 = 0 + A = A \).
4. **Elemen Invers untuk Penjumlahan**: Untuk setiap \( A \) dalam \( R \), ada elemen \( B \) dalam \( R \) sedemikian sehingga \( A + B = B + A = 0 \).
5. **Distributif**: Perkalian didistribusikan terhadap penjumlahan, yaitu untuk semua \( A, B, C \) dalam \( R \), \( A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \) dan \( (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \).

Sekarang, kita akan membuktikan bahwa matriks berukuran \(2 \times 2\) dengan entri-entri bilangan bulat memenuhi syarat-syarat ini.

### 1. Tertutup terhadap Penjumlahan dan Perkalian
- **Penjumlahan**: Jika \( A \) dan \( B \) adalah matriks \( 2 \times 2 \) dengan entri-entri bilangan bulat, maka entri-entri dari \( A + B \) juga merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, penjumlahan matriks tetap dalam himpunan.
  
- **Perkalian**: Jika \( A \) dan \( B \) adalah matriks \( 2 \times 2 \) dengan entri-entri bilangan bulat, maka entri-entri dari hasil kali matriks \( A \cdot B \) juga merupakan bilangan bulat. Ini karena hasil kali dan penjumlahan bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat.

### 2. Asosiatif terhadap Penjumlahan dan Perkalian
- **Penjumlahan**: Penjumlahan matriks adalah asosiatif, yaitu \( A + (B + C) = (A + B) + C \) karena penjumlahan bilangan bulat itu sendiri asosiatif.
  
- **Perkalian**: Perkalian matriks juga asosiatif, yaitu \( A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C \), yang merupakan sifat dasar dari perkalian matriks.

### 3. Elemen Identitas untuk Penjumlahan
- **Matriks nol**: Matriks identitas untuk penjumlahan adalah matriks nol, yaitu matriks dengan semua entri bernilai 0:
\[
O = \begin{pmatrix} 
0 & 0 \\ 
0 & 0 
\end{pmatrix}
\]
Untuk setiap matriks \( A \), kita memiliki \( A + O = O + A = A \).

### 4. Elemen Invers untuk Penjumlahan
- Untuk setiap matriks \( A \), matriks invers aditifnya adalah matriks dengan entri-entri yang merupakan negatif dari entri-entri \( A \):
\[
-A = \begin{pmatrix} 
-a_{11} & -a{12} \\ 
-a_{21} & -a_{22} 
\end{pmatrix}
\]
dimana \( A = \begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} \\ 
a_{21} & a_{22} 
\end{pmatrix} \), sehingga \( A + (-A) = O \).

### 5. Distributif
- Perkalian matriks terhadap penjumlahan bersifat distributif:
\[
A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C
\]
\[
(B + C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A
\]
Sifat distributif ini berlaku untuk matriks karena berasal dari sifat distributif dari bilangan bulat.

### Kesimpulan:
Karena semua syarat-syarat definisi ring dipenuhi oleh matriks \( 2 \times 2 \) dengan entri-entri bilangan bulat di bawah operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks, maka himpunan ini memang membentuk suatu ring.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci, atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi:
1. Bagaimana dengan sifat komutatif pada ring? Apakah berlaku untuk semua matriks?
2. Apa perbedaan antara ring komutatif dan non-komutatif?
3. Dapatkah kita membentuk field dari matriks \(2 \times 2\)?
4. Apakah struktur ini juga merupakan aljabar?
5. Bagaimana cara menemukan invers perkalian dari suatu matriks \(2 \times 2\)?

**Tip:** Ketika mempelajari ring, penting untuk memahami bahwa perkalian tidak selalu komutatif, berbeda dengan bilangan real atau kompleks.

Explore the proof that 2x2 integer matrices form a ring under matrix addition and multiplication. Understand the closure, associativity, identity elements, inverses, and distributive properties involved. Suitable for advanced undergraduate study.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation