de acuerdo al tema matemático: Inferencia estadística, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, resuelve y desarrolla todos los cálculos del siguiente problema:

2.	Se somete a prueba a todos los integrantes del magisterio de enseñanza básica (primaria) de un país. Un experto en educación afirma que el promedio de la calificación, sobre una base de 100, fue de 76. Un representante del alto gobierno pone en duda dicha afirmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 400 maestros cuya media fue de 74 con desviación estándar de 16. Comprueba dicha afirmación con una prueba de hipótesis y un nivel de significancia del 1%.

Para resolver este problema de inferencia estadística, seguiremos los pasos adecuados para realizar una prueba de hipótesis.

### **1. Planteamiento de la Prueba de Hipótesis:**

**Hipótesis Nula (H₀):**  
El promedio de la calificación es igual a 76, como afirmó el experto.  
\( H_0: \mu = 76 \)

**Hipótesis Alternativa (H₁):**  
El promedio de la calificación es diferente de 76, como duda el representante del gobierno.  
\( H_1: \mu \neq 76 \)

### **2. Datos y Estadísticas Iniciales:**

- Tamaño de la muestra (\(n\)) = 400 maestros
- Media muestral (\(\bar{x}\)) = 74
- Desviación estándar muestral (\(s\)) = 16
- Media poblacional según la hipótesis (\(\mu_0\)) = 76

### **3. Nivel de Significancia y Valor Crítico:**

Dado que el nivel de significancia es del 1%, tenemos \( \alpha = 0.01 \).

Como esta es una prueba bilateral (porque la hipótesis alternativa es que \( \mu \neq 76 \)), debemos dividir \( \alpha \) entre 2 para encontrar el área en cada cola. Entonces:

\[
\alpha_{\text{cola}} = \frac{0.01}{2} = 0.005
\]

### **4. Estadístico de Prueba:**

El estadístico de prueba se calcula con la siguiente fórmula para la prueba z:

\[
z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
\]

Donde:
- \( \bar{x} = 74 \) es la media muestral,
- \( \mu_0 = 76 \) es la media poblacional bajo la hipótesis nula,
- \( s = 16 \) es la desviación estándar de la muestra,
- \( n = 400 \) es el tamaño de la muestra.

### **5. Decisión y Conclusión:**

Buscar el valor crítico \( z_{\alpha/2} \) de la distribución normal estándar para \( \alpha_{\text{cola}} = 0.005 \). Luego, comparar el valor calculado del estadístico z con el valor crítico para tomar una decisión sobre la hipótesis nula.

Vamos a realizar todos los cálculos paso a paso.### Resultados de los Cálculos:

1. **Estadístico de prueba \( z \):**  
   \(z = -2.5\)

2. **Valor crítico \( z_{\alpha/2} \):**  
   \(z_{\text{crítico}} = 2.576\) (aproximadamente).

### **6. Decisión y Conclusión:**

El valor calculado del estadístico \( z \) es \(-2.5\), lo que está fuera del rango de \([-2.576, 2.576]\) que corresponde a la región de no rechazo bajo \( H_0 \). 

### **Conclusión:**
Dado que el valor \( z = -2.5 \) cae dentro de la región de rechazo (es menor que \(-2.576\)), se **rechaza la hipótesis nula** \( H_0 \) al nivel de significancia del 1%. Esto sugiere que hay suficiente evidencia estadística para afirmar que la media de la calificación en la población es diferente de 76, por lo que la afirmación del experto en educación es cuestionable.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí hay 5 preguntas relativas que podrías considerar:
1. ¿Cómo cambiaría la conclusión si el tamaño de la muestra fuera menor?
2. ¿Qué implicaciones tiene usar una prueba z en lugar de una prueba t en este contexto?
3. ¿Cómo se interpretaría el resultado si el nivel de significancia fuera 5% en lugar de 1%?
4. ¿Cuál es el impacto de la desviación estándar en el cálculo del estadístico z?
5. ¿Qué significaría para la prueba si la media muestral hubiera sido mayor que 76?

**Tip:** En pruebas bilaterales, es importante considerar ambos extremos de la distribución para determinar si la hipótesis nula debe ser rechazada o no.

Resuelve y desarrolla todos los cálculos del problema de inferencia estadística sobre la calificación promedio del magisterio de enseñanza básica. Comprueba una afirmación con una muestra aleatoria, incluyendo la prueba de hipótesis y un nivel de significancia del 1%.

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