entonces determina 2+1/2+1/8+...+2(1/4)^n-1= 8/3(1-(1/4)^n) por medio de inducción matemática



Para demostrar por inducción matemática la igualdad:

\[
2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)
\]

seguimos estos pasos:

### 1. Paso base:
Comprobamos la igualdad para \( n = 1 \).

Cuando \( n = 1 \):

El lado izquierdo es:
\[
2\left(\frac{1}{4}\right)^{1-1} = 2(1) = 2
\]

El lado derecho es:
\[
\frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^1\right) = \frac{8}{3}\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{8}{3}\left(\frac{3}{4}\right) = 2
\]

Dado que ambos lados son iguales, el paso base es correcto.

### 2. Paso inductivo:
Asumimos que la igualdad es cierta para un número natural \( k \), es decir:

\[
2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^k\right)
\]

Debemos demostrar que la igualdad es cierta para \( k+1 \), es decir:

\[
2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \dots + 2\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\right)
\]

### 3. Demostración del paso inductivo:

Sumamos \( 2\left(\frac{1}{4}\right)^k \) en ambos lados de la ecuación de la hipótesis inductiva:

Lado izquierdo:
\[
\frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^k\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Lado derecho:
\[
\frac{8}{3} - \frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^k + 2\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Factorizamos \( \left(\frac{1}{4}\right)^k \) en el lado derecho:
\[
\frac{8}{3} + \left(\frac{1}{4}\right)^k\left(-\frac{8}{3} + 2\right) = \frac{8}{3} - \left(\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Simplificando:
\[
\frac{8}{3} - \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Para que el paso inductivo se cumpla, necesitamos verificar que:
\[
\frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\right) = \frac{8}{3} - \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^k
\]

Multiplicamos \( \frac{8}{3} \) por \( \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1} \):

\[
\frac{8}{3} - \frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{k+1} = \frac{8}{3} - \left(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^k\right)
\]

Esto demuestra que ambos lados son equivalentes. Así, la inducción se cumple y, por lo tanto, la ecuación es válida para todo \( n \).

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3. ¿Cómo se encuentra la suma de una serie geométrica infinita?
4. ¿Cuál es la diferencia entre series convergentes y divergentes?
5. ¿Cómo se relaciona la inducción matemática con el principio de recurrencia?

**Tip:** La inducción matemática es una herramienta poderosa no solo para demostrar series, sino también para probar propiedades en combinatoria, teoría de números y más.

Learn how to prove the sum of a geometric series using mathematical induction. This problem involves demonstrating the equality 2 + 1/2 + 1/8 + ... + 2(1/4)^(n-1) = 8/3(1 - (1/4)^n). Explore the step-by-step induction proof and understand the application of geometric series in advanced mathematics. Suitable for advanced high school and college students.

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