Dadas las funciones f y g , determine f + g , f − g , f × g y f /g . Adem ́as,
determine el dominio y el rango. f (x) = x∗1
x−1 , g (x) = 1
x

Dadas las funciones \( f(x) = \frac{x \cdot 1}{x - 1} \) y \( g(x) = \frac{1}{x} \), procedemos a determinar \( f + g \), \( f - g \), \( f \times g \), y \( \frac{f}{g} \). Además, calcularemos el dominio y el rango de cada función.

### Simplificación de \( f(x) \):
La función \( f(x) = \frac{x \cdot 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} \).

### 1. Suma de funciones \( f + g \):
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x}
\]
Para sumar estas fracciones, necesitamos un denominador común:
\[
(f + g)(x) = \frac{x^2 + (x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{x^2 + x - 1}{x(x - 1)}
\]

### 2. Resta de funciones \( f - g \):
\[
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x}
\]
De nuevo, utilizamos un denominador común:
\[
(f - g)(x) = \frac{x^2 - (x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)}
\]

### 3. Producto de funciones \( f \times g \):
\[
(f \times g)(x) = f(x) \times g(x) = \frac{x}{x - 1} \times \frac{1}{x} = \frac{x \cdot 1}{(x - 1) \cdot x} = \frac{1}{x - 1}
\]

### 4. Cociente de funciones \( \frac{f}{g} \):
\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{x}{x - 1}}{\frac{1}{x}} = \frac{x \cdot x}{x - 1} = \frac{x^2}{x - 1}
\]

### 5. Dominio y Rango

#### Dominio:
- **\( f(x) \)**: Para \( f(x) = \frac{x}{x - 1} \), el denominador no debe ser cero. Por lo tanto, \( x \neq 1 \).
- **\( g(x) \)**: Para \( g(x) = \frac{1}{x} \), el denominador no debe ser cero. Por lo tanto, \( x \neq 0 \).
- **\( f+g(x) \), \( f-g(x) \)**: Ambas funciones heredan las restricciones de \( f(x) \) y \( g(x) \). Entonces, \( x \neq 0 \) y \( x \neq 1 \).
- **\( f \times g(x) \)**: La función está definida para \( x \neq 1 \) y \( x \neq 0 \).
- **\( \frac{f}{g}(x) \)**: Además de las restricciones de \( f(x) \) y \( g(x) \), necesitamos que \( g(x) \neq 0 \), lo que implica \( x \neq 0 \). El dominio es \( x \neq 1 \) y \( x \neq 0 \).

#### Rango:
- **\( f(x) = \frac{x}{x - 1} \)**: El rango es \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \), ya que nunca alcanza el valor 1.
- **\( g(x) = \frac{1}{x} \)**: El rango es \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), ya que nunca alcanza el valor 0.
- **\( f + g(x) \) y \( f - g(x) \)**: El rango será complejo, pero incluye valores posibles para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 1 \).
- **\( f \times g(x) = \frac{1}{x - 1} \)**: El rango es \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
- **\( \frac{f}{g}(x) = \frac{x^2}{x - 1} \)**: El rango también es \( \mathbb{R} \), pero con valores dependiendo de la forma cuadrática.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el dominio de una función compuesta?
2. ¿Qué sucede si \( f(x) \) y \( g(x) \) tienen dominios diferentes?
3. ¿Cómo se determina el rango de una función racional?
4. ¿Cómo se interpretan las asíntotas verticales en el rango?
5. ¿Cuál es la importancia de simplificar funciones antes de operar con ellas?

### Tip:
Al calcular la suma o resta de funciones racionales, siempre es útil simplificar las fracciones para facilitar el análisis de dominio y rango.

Explore operations with rational functions, including addition, subtraction, multiplication, and division. Understand the domains and ranges of the functions f(x) = x/(x - 1) and g(x) = 1/x. Suitable for undergraduate students studying calculus and algebra.

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