Para cada número natural 𝑛 ≥ 4, se verifica 𝑛
2 ≤ 2
𝑛
.

A afirmação que você está verificando é: para cada número natural \( n \geq 4 \), a relação \( n^2 \leq 2^n \) é verdadeira.

**Demonstração por indução matemática:**

Vamos usar **indução** para provar que essa desigualdade é verdadeira para todos \( n \geq 4 \).

### Passo 1: Base da Indução
Verificamos se a desigualdade é verdadeira para \( n = 4 \).

\[
n^2 = 4^2 = 16
\]
\[
2^n = 2^4 = 16
\]

Aqui, \( 16 \leq 16 \), então a desigualdade \( n^2 \leq 2^n \) é verdadeira para \( n = 4 \).

### Passo 2: Hipótese de Indução
Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum \( n = k \geq 4 \). Ou seja, assumimos que:
\[
k^2 \leq 2^k
\]

### Passo 3: Passo Indutivo
Precisamos provar que, se a desigualdade é verdadeira para \( n = k \), então ela também é verdadeira para \( n = k + 1 \). Queremos mostrar que:
\[
(k+1)^2 \leq 2^{k+1}
\]

Expandindo ambos os lados:

\[
(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1
\]
\[
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k
\]

Usando a hipótese de indução \( k^2 \leq 2^k \), temos:

\[
k^2 + 2k + 1 \leq 2^k + 2k + 1
\]

Agora, precisamos mostrar que \( 2^k + 2k + 1 \leq 2 \cdot 2^k \). Ou seja, queremos que:

\[
2k + 1 \leq 2^k
\]

Isso é verdadeiro para \( k \geq 4 \), pois \( 2^4 = 16 \) e \( 2 \cdot 4 + 1 = 9 \), e para \( k \geq 5 \), a diferença entre \( 2^k \) e \( 2k + 1 \) cresce ainda mais.

Portanto, a desigualdade \( (k+1)^2 \leq 2^{k+1} \) é verdadeira se assumirmos que ela é verdadeira para \( k \).

### Conclusão:
Por indução, mostramos que \( n^2 \leq 2^n \) para todo \( n \geq 4 \).

---

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, é só avisar!

**5 questões relacionadas:**

1. Como a indução matemática funciona para provar desigualdades?
2. Quais outras técnicas podem ser usadas para provar desigualdades além de indução?
3. Qual é o comportamento assintótico de \( n^2 \) comparado a \( 2^n \)?
4. Para quais outros valores de \( n \) a desigualdade \( n^2 \leq 2^n \) se mantém verdadeira?
5. Como gráficos de funções podem ajudar a visualizar desigualdades como \( n^2 \leq 2^n \)?

**Dica:** A indução é uma técnica poderosa para provar proposições que envolvem números inteiros. Sempre verifique se a base e o passo indutivo estão corretos!

Para cada número natural 𝑛 ≥ 4, se verifica 𝑛^2 ≤ 2^n.

Learn how to prove the inequality n^2 ≤ 2^n for n ≥ 4 using mathematical induction. This problem covers key mathematical concepts such as induction and exponential growth, and is suitable for students in Grades 11-12.

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