Demuestre la siguiente proposición empleando Inducción Matemática 1/5+1/25+1/125+...+1/5n=5/4(1/5)^n+1 + 1/4

Vamos a demostrar la siguiente proposición utilizando el **principio de inducción matemática**:

\[
S_n = \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \dots + \frac{1}{5^n} = \frac{5}{4} \left( \frac{1}{5^{n+1}} \right) + \frac{1}{4}
\]

**Paso 1: Base de la inducción (n = 1)**

Para \( n = 1 \), el lado izquierdo de la ecuación es:

\[
S_1 = \frac{1}{5}
\]

Ahora, el lado derecho de la ecuación para \( n = 1 \) es:

\[
\frac{5}{4} \left( \frac{1}{5^{1+1}} \right) + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \left( \frac{1}{25} \right) + \frac{1}{4} = \frac{5}{100} + \frac{1}{4} = \frac{1}{20} + \frac{1}{4}
\]

Llevando ambos términos a denominador común:

\[
\frac{1}{20} + \frac{1}{4} = \frac{1}{20} + \frac{5}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}
\]

Claramente, el valor de \( S_1 = \frac{1}{5} \) no coincide con \( \frac{3}{10} \). Por lo tanto, hay un error en el planteamiento del problema.

¿Te gustaría revisar si la fórmula de la proposición es correcta o tienes más detalles sobre ella? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Podrías verificar la expresión del lado derecho?
2. ¿Es correcto asumir que la serie está en términos de \( 1/5^n \)?
3. ¿Tienes algún contexto adicional sobre cómo se obtuvo esta fórmula?
4. ¿Estás familiarizado con otros métodos para sumar series geométricas?
5. ¿Podemos intentar una descomposición diferente de la fórmula?

**Tip:** Al resolver por inducción matemática, es crucial que la base sea verificada correctamente para asegurar que la fórmula inicial sea correcta.

Explore the process of proving the sum of a geometric series using mathematical induction. This step-by-step solution guides you through verifying the formula S_n = 1/5 + 1/25 + ... + 1/5^n using induction, suitable for high school students in Grades 10-12.

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