PROBLEME : 
On étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par :
a0 = 0 , a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an .
A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an  N* .
 2°) Montrer que la suite (an) est strictement croissante à partir du rang 2.
 3°) Montrer que, pour tout n de N, an  n – 1 .


Le problème porte sur la suite de Fibonacci définie par les relations suivantes :

- \( a_0 = 0 \)
- \( a_1 = 1 \)
- Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \)

Nous allons maintenant répondre aux trois questions posées dans la partie A.

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### A) 1°) Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( a_n \in \mathbb{N}^* \).

**Démonstration :**

Par définition, nous avons les valeurs initiales suivantes :

- \( a_0 = 0 \) (n'appartient pas à \( \mathbb{N}^* \))
- \( a_1 = 1 \in \mathbb{N}^* \)

Ensuite, pour \( n \geq 2 \), la relation de récurrence est :

\[
a_{n+2} = a_{n+1} + a_n
\]

Supposons que pour un certain rang \( n \), \( a_n \in \mathbb{N}^* \) et \( a_{n+1} \in \mathbb{N}^* \). Alors, d'après la définition de la suite, \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \). Comme la somme de deux entiers strictement positifs est un entier strictement positif, il s'ensuit que \( a_{n+2} \in \mathbb{N}^* \).

Par récurrence, on conclut que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( a_n \in \mathbb{N}^* \).

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### A) 2°) Montrer que la suite \( (a_n) \) est strictement croissante à partir du rang 2.

**Démonstration :**

On va démontrer que la suite est strictement croissante, c'est-à-dire que pour tout \( n \geq 2 \), \( a_{n+1} > a_n \).

- D'abord, considérons les premiers termes : 
  - \( a_0 = 0 \), 
  - \( a_1 = 1 \), 
  - \( a_2 = 1 \).
  
On observe que \( a_2 = a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1 \), donc la suite n'est pas encore strictement croissante pour \( n = 1 \). Cependant, pour \( n = 2 \), on a :

\[
a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2
\]

Dès lors, on a \( a_3 > a_2 \).

Ensuite, considérons la relation de récurrence \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \). Si \( a_{n+1} > a_n \) pour un certain \( n \geq 2 \), alors :

\[
a_{n+2} = a_{n+1} + a_n > a_n + a_n = 2a_n > a_n
\]

Donc \( a_{n+2} > a_{n+1} \). Par récurrence, on en conclut que pour tout \( n \geq 2 \), \( a_{n+1} > a_n \), ce qui signifie que la suite est strictement croissante à partir de \( n = 2 \).

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### A) 3°) Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_n \geq n - 1 \).

**Démonstration :**

Nous allons utiliser une méthode de récurrence pour montrer cette inégalité.

1. **Initialisation :**

Vérifions pour les premiers termes de la suite :

- \( a_0 = 0 \), et \( 0 \geq 0 - 1 = -1 \), donc l'inégalité est vraie.
- \( a_1 = 1 \), et \( 1 \geq 1 - 1 = 0 \), donc l'inégalité est aussi vraie.

2. **Hérédité :**

Supposons que pour un certain \( n \in \mathbb{N} \), on ait \( a_n \geq n - 1 \) et \( a_{n+1} \geq n \). Nous devons montrer que \( a_{n+2} \geq n+1 \).

D'après la relation de récurrence, on a :

\[
a_{n+2} = a_{n+1} + a_n
\]

D'après notre hypothèse de récurrence, \( a_{n+1} \geq n \) et \( a_n \geq n - 1 \). Donc :

\[
a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \geq n + (n - 1) = 2n - 1
\]

Il faut montrer que \( 2n - 1 \geq n+1 \), ce qui revient à :

\[
2n - 1 \geq n + 1 \quad \text{soit} \quad n \geq 2
\]

Ainsi, pour \( n \geq 2 \), on a \( a_{n+2} \geq n+1 \), ce qui prouve l'hérédité.

3. **Conclusion :**

Par le principe de récurrence, on conclut que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on a bien \( a_n \geq n - 1 \).

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### Résumé des résultats :

1. Pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( a_n \in \mathbb{N}^* \).
2. La suite \( (a_n) \) est strictement croissante à partir de \( n = 2 \).
3. Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_n \geq n - 1 \).

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Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions spécifiques ?

Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir votre compréhension :
1. Comment pourrait-on démontrer que la suite de Fibonacci croît exponentiellement ?
2. Quelle est la formule explicite pour \( a_n \) en fonction de \( n \) ?
3. Pourquoi la suite est-elle strictement croissante à partir du rang 2 ?
4. Quelles sont les applications de la suite de Fibonacci dans la nature ?
5. Comment résoudre des équations de récurrence similaires à celle de Fibonacci ?

**Tip :** La suite de Fibonacci peut aussi être reliée à des concepts géométriques, comme le nombre d'or.

PROBLEME : On étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par : a0 = 0, a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an. A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an  N*. 2°) Montrer que la suite (an) est strictement croissante à partir du rang 2. 3°) Montrer que, pour tout n de N, an  n – 1.

Explore the Fibonacci sequence and prove key properties such as strict growth from rank 2 and the inequality an ≥ n - 1 for all n. This problem involves concepts of recurrence relations and mathematical induction, suitable for high school students in Grades 10-12.

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