要证明不等式：

\[
\frac{1}{x+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x}
\]

其中 \(x > 0\) 且 \(x > -1\)，可以分两部分进行证明：

### 1. 证明 \(\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x}\)

我们利用泰勒展开式以及函数的单调性来进行证明。

#### 利用泰勒展开：

考虑 \(\ln(1+y)\) 在 \(y = 0\) 附近的展开式：

\[
\ln(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \cdots
\]

令 \(y = \frac{1}{x}\)，则

\[
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots
\]

由于 \(x > 0\)，这些高次项是正的，因此我们有：

\[
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x}
\]

### 2. 证明 \(\frac{1}{x+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)\)

我们可以考虑定义函数 \(f(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}\)，然后证明 \(f(x) > 0\) 以得到所需的不等式。

#### 取函数的导数：

\[
f'(x) = \frac{-1}{x(x+1)^2} + \frac{1}{x(x+1)}
\]

\[
= \frac{1}{x(x+1)}\left(1 - \frac{1}{x+1}\right)
= \frac{1}{x(x+1)}\cdot\frac{x}{x+1} > 0
\]

说明 \(f(x)\) 是递增的，由于 \(f(x)\) 在 \(x > 0\) 时总是正值，所以：

\[
f(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1} > 0
\]

即

\[
\frac{1}{x+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)
\]

### 结论：

结合两部分的结果，我们得出所需的不等式：

\[
\frac{1}{x+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x}
\]

如果您对步骤有任何问题，或想了解更多相关内容，请告诉我！

---

**进一步探讨的相关问题：**

1. 如何利用拉格朗日中值定理证明这个不等式？
2. 在什么情况下不等式的符号会发生改变？
3. 对于其他类似的对数不等式，有哪些常见的证明技巧？
4. 如果 \( x \) 取负值，如何修正此不等式？
5. 该不等式是否可以推广到更一般的函数形式？
6. 如何使用计算工具（如微积分计算器）来验证这个不等式？
7. 如何用积分的思想来理解这个不等式？
8. 这个不等式在经济学或物理学中是否有应用？

Discover how to prove the logarithmic inequality 1/(x+1) < ln(1 + 1/x) < 1/x step-by-step. This problem involves inequalities, logarithmic functions, and Taylor series expansion, suitable for advanced undergraduate level studies.

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