Soit (E)
 l'inéquation : ln|1+x|−ln|2x+1|≤ln2
. Quelles sont les assertions vraies ?

Question 16Veuillez choisir au moins une réponse.

L'ensemble des solutions de (E)
 est : ]−∞,−1[∪]−1,−35]∪[−13,+∞[
.


L'ensemble des solutions de (E)
 est ]−∞,−1[∪]−1,−35]
.


Toutes les solutions de (E)
 sont dans ]−12,+∞[
.


L'ensemble des solutions de (E)
 est : ]−1,−35]∪]−13,+∞[
.

L'inéquation donnée est la suivante :

\[
\ln|1+x| - \ln|2x+1| \leq \ln 2
\]

Nous allons la résoudre pas à pas :

### Étape 1 : Utiliser les propriétés des logarithmes
L'inéquation peut être simplifiée à l'aide de la propriété des logarithmes qui dit que :
\[
\ln a - \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right)
\]
Ainsi, nous avons :
\[
\ln\left(\frac{|1+x|}{|2x+1|}\right) \leq \ln 2
\]

### Étape 2 : Exponentier les deux côtés
Exponentions les deux côtés pour éliminer le logarithme :
\[
\frac{|1+x|}{|2x+1|} \leq 2
\]

### Étape 3 : Résoudre l'inéquation
Cela revient à résoudre l'inéquation suivante :
\[
|1+x| \leq 2 |2x+1|
\]
Nous devons maintenant considérer les différentes valeurs possibles pour \(x\) pour lever la valeur absolue.

#### Cas 1 : \(1 + x \geq 0\) et \(2x + 1 \geq 0\) (c'est-à-dire \(x \geq -1\) et \(x \geq -\frac{1}{2}\))
Dans ce cas, l'inéquation devient :
\[
1 + x \leq 2(2x + 1)
\]
Cela simplifie à :
\[
1 + x \leq 4x + 2
\]
\[
1 \leq 3x + 2
\]
\[
-1 \leq 3x
\]
\[
x \geq -\frac{1}{3}
\]

#### Cas 2 : \(1 + x < 0\) et \(2x + 1 < 0\) (c'est-à-dire \(x < -1\) et \(x < -\frac{1}{2}\))
Dans ce cas, nous devons prendre le signe opposé pour \(1+x\) et \(2x+1\). Cela donne :
\[
-(1 + x) \leq 2(2x + 1)
\]
\[
-1 - x \leq 4x + 2
\]
\[
-3 \leq 5x
\]
\[
x \geq -\frac{3}{5}
\]

### Conclusion
En combinant ces résultats, on trouve que l'ensemble des solutions est :
\[
]−\infty, −1[ ∪ ]−1, −\frac{3}{5}] ∪ [−\frac{1}{3}, +\infty[
\]

Donc, la bonne réponse est :  
**L'ensemble des solutions de (E) est : \( ]−1,−\frac{3}{5}]∪[−\frac{1}{3},+\infty[ \)**.

### Voulez-vous des détails ou avez-vous des questions sur une étape spécifique ?

#### Questions relatives :
1. Comment exponentier une inéquation logarithmique ?
2. Quelles sont les propriétés des logarithmes utilisées pour simplifier les expressions ?
3. Comment gérer les valeurs absolues dans une inéquation ?
4. Comment résoudre une inéquation après avoir enlevé les logarithmes ?
5. Pourquoi la solution exclut certains intervalles de valeurs pour \(x\) ?

#### Astuce :
Lors de la résolution d'inéquations avec des logarithmes, utilisez toujours les propriétés du logarithme pour combiner ou simplifier les termes avant de passer à l'étape d'exponentiation.

Soit (E) l'inéquation : ln|1+x|−ln|2x+1|≤ln2. Quelles sont les assertions vraies ?

L'ensemble des solutions de (E) est : ]−∞,−1[∪]−1,−35]∪[−13,+∞[.

L'ensemble des solutions de (E) est ]−∞,−1[∪]−1,−35].

Toutes les solutions de (E) sont dans ]−12,+∞[.

L'ensemble des solutions de (E) est : ]−1,−35]∪]−13,+∞[.

Learn how to solve the logarithmic inequality ln|1+x|−ln|2x+1|≤ln2 step-by-step. This problem involves logarithmic properties and solving inequalities with absolute values, suitable for students in Grades 11-12.

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