En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 :
1
n+1
⩽ ln(n+1)−ln(n) ⩽
1
n
.

Pour démontrer l'inégalité suivante :

\[
\frac{1}{n+1} \leq \ln(n+1) - \ln(n) \leq \frac{1}{n},
\]

nous allons utiliser la **méthode des intégrales** et la convexité de la fonction logarithme. Cette inégalité repose sur la formule de la dérivée du logarithme naturel et sur l'application du **théorème des accroissements finis**.

### Étape 1 : Représentation intégrale de la différence de logarithmes

Considérons la différence des logarithmes \( \ln(n+1) - \ln(n) \). On peut la réécrire sous la forme d'une intégrale :

\[
\ln(n+1) - \ln(n) = \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx.
\]

### Étape 2 : Encadrement de la fonction intégrée

La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est décroissante pour \( x > 0 \). En évaluant cette fonction aux bornes de l'intégrale, nous obtenons les inégalités suivantes :

\[
\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{n}, \quad \text{pour} \quad x \in [n, n+1].
\]

### Étape 3 : Intégration des bornes

En intégrant ces inégalités sur l'intervalle \( [n, n+1] \), nous obtenons :

\[
\int_n^{n+1} \frac{1}{n+1} \, dx \leq \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx \leq \int_n^{n+1} \frac{1}{n} \, dx.
\]

Ce qui donne :

\[
\frac{1}{n+1} \cdot (n+1 - n) \leq \ln(n+1) - \ln(n) \leq \frac{1}{n} \cdot (n+1 - n),
\]

c'est-à-dire :

\[
\frac{1}{n+1} \leq \ln(n+1) - \ln(n) \leq \frac{1}{n}.
\]

### Conclusion

Nous avons donc démontré que :

\[
\frac{1}{n+1} \leq \ln(n+1) - \ln(n) \leq \frac{1}{n},
\]

pour tout \( n > 0 \), en utilisant une représentation intégrale de la différence des logarithmes et l'encadrement de la fonction intégrée.

---

Est-ce que vous souhaitez plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions liées :
1. Comment appliquer le théorème des accroissements finis pour des fonctions non monotones ?
2. Qu'est-ce qu'une fonction convexe et comment cela aide-t-il dans cette démonstration ?
3. Quelle est l'importance des intégrales pour les démonstrations d'inégalités ?
4. Comment étendre cette méthode d'intégration à d'autres fonctions transcendantales ?
5. Quelle est la signification géométrique de la différence de logarithmes ?

**Tip** : L'encadrement des fonctions monotones est un outil puissant pour démontrer des inégalités via les intégrales.

En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 : 1/(n+1) ⩽ ln(n+1)−ln(n) ⩽ 1/n.

Learn how to prove the inequality 1/(n+1) ≤ ln(n+1) - ln(n) ≤ 1/n using integral calculus. This solution involves the properties of logarithmic functions, definite integrals, and the mean value theorem. Suitable for university-level students studying calculus.

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