Sea ABC un triángulo. Los lados BC, AC y AB miden respectivamente. a, b y c. Muestre que la altura bajada desde el vértice A es 
 h_a=2/a √(p(p-a)(p-b)(p-c) )


Para demostrar que la altura \( h_a \) bajada desde el vértice \( A \) de un triángulo \( ABC \) es igual a:

\[
h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
\]

donde \( a \), \( b \), y \( c \) son las longitudes de los lados \( BC \), \( AC \) y \( AB \) respectivamente, y \( p \) es el semiperímetro del triángulo, \( p = \frac{a+b+c}{2} \), seguiremos los siguientes pasos:

### 1. Fórmula del área de un triángulo

El área \( A \) de un triángulo puede ser calculada utilizando la fórmula de Herón:

\[
A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
\]

donde \( p \) es el semiperímetro del triángulo, dado por:

\[
p = \frac{a+b+c}{2}.
\]

### 2. Área del triángulo usando la base y la altura

El área de un triángulo también se puede expresar en términos de una base y su altura correspondiente. Usando el lado \( a \) como la base y \( h_a \) como la altura desde el vértice \( A \), tenemos:

\[
A = \frac{1}{2} \times a \times h_a.
\]

### 3. Igualando las dos expresiones para el área

Podemos igualar las dos fórmulas para el área \( A \):

\[
\frac{1}{2} \times a \times h_a = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
\]

### 4. Despejando \( h_a \)

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para eliminar el factor \( \frac{1}{2} \) y despejamos \( h_a \):

\[
a \times h_a = 2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
\]

\[
h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
\]

### Conclusión

Hemos demostrado que la altura \( h_a \) bajada desde el vértice \( A \) de un triángulo \( ABC \) es:

\[
h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
\]

lo que coincide con la expresión que queríamos probar.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta específica? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se deduce la fórmula de Herón para el área de un triángulo?
2. ¿Cómo se relacionan las alturas en un triángulo con su circunferencia inscrita?
3. ¿Qué otras fórmulas existen para calcular la altura de un triángulo, además de la que se ha demostrado?
4. ¿Cómo afecta la relación entre los lados del triángulo a la fórmula de la altura?
5. ¿Qué sucede con la altura si el triángulo es equilátero o isósceles?

**Tip:** La fórmula de Herón es especialmente útil cuando se conocen las longitudes de los tres lados de un triángulo y se quiere calcular el área sin conocer las alturas o los ángulos.

Learn how to prove that the height \( h_a \) dropped from vertex A in triangle ABC is equal to \( h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \). This proof involves Heron's formula and the concept of semiperimeter. Suitable for high school students studying geometry.

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