) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.
Función de posición 
f(t)=  t^3/3+〖7t〗^2/2+12t+ 223.5


Para determinar los puntos máximos y mínimos de la función de posición \( f(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + 223.5 \), es necesario seguir estos pasos:

### 1. Encontrar la derivada de la función
La derivada de \( f(t) \) con respecto a \( t \) nos da la función de velocidad \( f'(t) \), que es:

\[
f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + 223.5 \right)
\]

Calculando la derivada:

\[
f'(t) = t^2 + 7t + 12
\]

### 2. Encontrar los puntos críticos
Los puntos críticos ocurren cuando \( f'(t) = 0 \) o cuando \( f'(t) \) no está definida (pero en este caso, \( f'(t) \) es un polinomio, por lo que está definida para todos los valores de \( t \)).

Resolvamos \( f'(t) = 0 \):

\[
t^2 + 7t + 12 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática. Para resolverla, utilizamos la fórmula cuadrática:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \( a = 1 \), \( b = 7 \), y \( c = 12 \):

\[
t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(12)}}{2(1)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2}
\]

\[
t = \frac{-7 \pm 1}{2}
\]

Por lo tanto, los valores de \( t \) son:

\[
t_1 = \frac{-7 + 1}{2} = -3
\]
\[
t_2 = \frac{-7 - 1}{2} = -4
\]

### 3. Determinar la naturaleza de los puntos críticos
Para determinar si estos puntos críticos corresponden a máximos, mínimos o puntos de inflexión, evaluamos la segunda derivada \( f''(t) \):

\[
f''(t) = \frac{d}{dt} (t^2 + 7t + 12) = 2t + 7
\]

Evaluamos \( f''(t) \) en los puntos críticos:

Para \( t = -3 \):

\[
f''(-3) = 2(-3) + 7 = -6 + 7 = 1
\]

Para \( t = -4 \):

\[
f''(-4) = 2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1
\]

- \( f''(-3) > 0 \), por lo tanto, \( t = -3 \) es un **mínimo local**.
- \( f''(-4) < 0 \), por lo tanto, \( t = -4 \) es un **máximo local**.

### Resumen
- **Máximo local** en \( t = -4 \).
- **Mínimo local** en \( t = -3 \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas adicionales:
1. ¿Cómo se utiliza la fórmula cuadrática en otros tipos de funciones?
2. ¿Qué ocurre si \( f'(t) \) tiene más de dos raíces?
3. ¿Qué interpretación física tienen los máximos y mínimos en la función de posición?
4. ¿Cómo afecta el signo de la segunda derivada a la concavidad de la función?
5. ¿Qué significan los puntos de inflexión y cómo se calculan?

**Tip:** Siempre verifica tus resultados con la segunda derivada para asegurar la correcta identificación de máximos y mínimos.

Learn how to find maximum and minimum points of the position function f(t) = (t^3 / 3) + (7t^2 / 2) + 12t + 223.5 with detailed step-by-step instructions. This problem covers calculus concepts, including critical points and the second derivative test. Suitable for college-level students and enthusiasts of calculus.

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