Sea ABC un triángulo. Los lados BC, AC y AB miden respectivamente. a, b y c. Muestre que la altura bajada desde el vértice A es 
 h_a=2/a √(p(p-a)(p-b)(p-c) )


El objetivo es demostrar que la altura \( h_a \) del triángulo \( ABC \), que se baja desde el vértice \( A \) al lado \( BC \), se puede expresar como:

\[
h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

donde \( a \), \( b \) y \( c \) son las longitudes de los lados opuestos a los vértices \( A \), \( B \) y \( C \), respectivamente, y \( p \) es el **semiperímetro** del triángulo, es decir:

\[
p = \frac{a + b + c}{2}
\]

### Paso 1: Fórmula del área del triángulo

El área \( A \) de un triángulo se puede calcular de dos maneras:

1. Usando la base \( BC = a \) y la altura \( h_a \) correspondiente a ese lado:

\[
A = \frac{1}{2} a h_a
\]

2. Usando la **fórmula de Herón**, que relaciona el área con los tres lados del triángulo:

\[
A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

### Paso 2: Igualar las dos expresiones del área

Como las dos expresiones representan el área del mismo triángulo, las igualamos:

\[
\frac{1}{2} a h_a = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

### Paso 3: Despejar \( h_a \)

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para eliminar la fracción:

\[
a h_a = 2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

Finalmente, despejamos \( h_a \) dividiendo ambos lados por \( a \):

\[
h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

### Conclusión:

Hemos demostrado que la altura \( h_a \) del triángulo \( ABC \), bajada desde el vértice \( A \), es:

\[
h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional?  
Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas para expandir el tema:

1. ¿Cómo se deriva la fórmula de Herón?
2. ¿Cuál es la relación entre la altura y el área en triángulos isósceles?
3. ¿Cómo se calcula el área de un triángulo en coordenadas cartesianas?
4. ¿Qué ocurre si un triángulo es equilátero? ¿Cómo se simplifica la altura en ese caso?
5. ¿Qué importancia tiene la fórmula de la altura en geometría analítica?

**Tip**: La fórmula de Herón es especialmente útil cuando conoces los tres lados de un triángulo, pero no su altura.

Explore how to derive the altitude formula in triangle geometry step-by-step. This problem focuses on proving the altitude \( h_a \) formula in triangle \( ABC \), relating it to Heron's formula and the area of a triangle. Suitable for advanced high school students.

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