Un analista financiero de la empresa Argo Group International Holdings encuentra que la acción de la empresa se encuentra momentáneamente valorizada de acuerdo con la siguiente función

R=2pe^{-0.1p}

donde p es el precio de la acción cotizado en dólares por unidad. Encuentre la tasa marginal con respecto al precio (dR/dp) cuando p es USD $40.92.

Para encontrar la tasa marginal con respecto al precio $\frac{dR}{dp}$, primero necesitamos derivar la función $R(p)$ con respecto a $p$. La función que nos dieron es:

\[
R(p) = 2p e^{-0.1p}
\]

Para derivar esta función, utilizaremos la regla del producto y la derivada de una función exponencial.

### Paso 1: Derivada de $R(p)$ con respecto a $p$

La regla del producto establece que si tenemos una función de la forma $u(p) \cdot v(p)$, su derivada es:

\[
\frac{d}{dp} [u(p) \cdot v(p)] = u'(p) \cdot v(p) + u(p) \cdot v'(p)
\]

Aquí, podemos identificar:
- $u(p) = 2p$
- $v(p) = e^{-0.1p}$

Primero derivamos $u(p)$ y $v(p)$ con respecto a $p$:

\[
u'(p) = 2
\]

\[
v'(p) = \frac{d}{dp} e^{-0.1p} = -0.1 e^{-0.1p}
\]

Ahora aplicamos la regla del producto:

\[
\frac{dR}{dp} = 2 \cdot e^{-0.1p} + 2p \cdot (-0.1 e^{-0.1p})
\]

Simplificamos la expresión:

\[
\frac{dR}{dp} = 2e^{-0.1p} - 0.2p e^{-0.1p}
\]

Podemos factorizar $e^{-0.1p}$:

\[
\frac{dR}{dp} = e^{-0.1p} (2 - 0.2p)
\]

### Paso 2: Evaluar la derivada en $p = 40.92$

Sustituimos $p = 40.92$ en la expresión derivada:

\[
\frac{dR}{dp} = e^{-0.1(40.92)} \cdot (2 - 0.2(40.92))
\]

Primero calculamos los valores:

\[
e^{-0.1(40.92)} \approx e^{-4.092} \approx 0.01667
\]

\[
2 - 0.2 \times 40.92 = 2 - 8.184 = -6.184
\]

Finalmente, multiplicamos:

\[
\frac{dR}{dp} \approx 0.01667 \times (-6.184) \approx -0.1031
\]

### Resultado

La tasa marginal con respecto al precio $\frac{dR}{dp}$ cuando $p$ es USD $40.92 es aproximadamente $-0.1031$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el cálculo?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa que la tasa marginal sea negativa?
2. ¿Cómo afectaría un aumento en el precio de la acción al retorno $R$?
3. ¿Qué métodos existen para derivar funciones más complejas?
4. ¿Cómo se interpreta el resultado en el contexto financiero?
5. ¿Cómo podría cambiar la función $R(p)$ si el valor de $0.1$ en el exponente cambia?

**Tip:** La derivada proporciona información crucial sobre cómo cambia una función en respuesta a pequeñas variaciones en su variable independiente.

Explore how to calculate the marginal rate of change (dR/dp) for a financial analyst using the given function R = 2p * e^(-0.1p). Understand the step-by-step process with an example calculation when p = $40.92. Ideal for financial analysts and advanced college students.

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