Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi M là trung điểm AB.
Đường thẳng qua C và vuông góc với MD cắt BD ở K. Chứng minh rằng:
a) CA là tia phân giác của góc HCK
b) CH = CK

Cho tam giác nhọn \(ABC\) với các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với \(MD\) cắt \(BD\) tại \(K\).

### Câu a: Chứng minh \(CA\) là tia phân giác của góc \(HCK\)
Ta cần chứng minh rằng \(CA\) chia góc \(HCK\) thành hai góc bằng nhau.

- Xét tam giác \(BDC\) có:
  - \(BD\) là đường cao, nên \( \angle BDC = 90^\circ \).
  - \(H\) là giao điểm của hai đường cao, do đó \(CH\) cũng là đường cao của tam giác \(BDC\). Vì vậy \(CH\) vuông góc với \(BD\).

- Xét tam giác \(MDC\):
  - \(MD\) là đoạn thẳng nối trung điểm \(M\) của \(AB\) với đỉnh \(D\) của tam giác \(ABD\), do đó \(MD\) là trung tuyến.
  - Đường thẳng \(CK\) qua \(C\) và vuông góc với \(MD\), vì vậy \(CK\) là đường cao của tam giác \(MDC\).

- Xét tam giác \(HCK\):
  - Ta có \( \angle HCK = \angle HCA + \angle ACK \).
  - Do đó, để chứng minh \(CA\) là tia phân giác của góc \(HCK\), ta cần chứng minh \( \angle HCA = \angle ACK \).

- Do \(CH\) và \(CK\) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \(BD\), nên \(CH\) song song với \(CK\).

- Từ đây, \( \angle HCA = \angle ACK \), điều này chứng tỏ \(CA\) là tia phân giác của góc \(HCK\).

### Câu b: Chứng minh \(CH = CK\)
- Vì \(CH\) và \(CK\) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \(BD\) và chúng song song với nhau, đồng thời \(C\) là điểm chung của cả hai đoạn thẳng \(CH\) và \(CK\).

- Do đó, tam giác \(HCK\) là tam giác cân tại \(C\) với hai cạnh bằng nhau \(CH\) và \(CK\).

- Kết luận: \(CH = CK\).

---

### Bạn có muốn chi tiết hơn hoặc có câu hỏi nào không?

### 5 câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để chứng minh \(CK\) vuông góc với \(MD\)?
2. Tại sao \(CK\) lại là đường cao của tam giác \(MDC\)?
3. Điều gì xảy ra nếu \(M\) không phải là trung điểm của \(AB\)?
4. Có thể áp dụng định lý nào để chứng minh \(CH\) và \(CK\) bằng nhau?
5. Có cách nào khác để chứng minh \(CA\) là tia phân giác của góc \(HCK\)?

### Mẹo:
Trong tam giác cân, đường phân giác, đường trung trực, và đường cao xuất phát từ đỉnh sẽ trùng nhau.

Learn how to prove that CA is the angle bisector of angle HCK and CH = CK in triangle ABC with intersecting altitudes BD and CE at H. Explore the properties of orthocenter, median M, and the perpendicular line from C to MD intersecting BD at K.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation