Chứng minh bất đẳng thức:
∣a∣+∣b∣≤∣a+b∣+∣a−b∣

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
|a| + |b| \leq |a + b| + |a - b|,
\]

ta có thể sử dụng một số tính chất của giá trị tuyệt đối và biến đổi bất đẳng thức như sau:

### Bước 1: Sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối

Ta biết rằng với mọi số thực \(x\), giá trị tuyệt đối của \(x\) thỏa mãn:

\[
|x| = \sqrt{x^2}.
\]

Ngoài ra, ta cũng có các tính chất sau của giá trị tuyệt đối:
- \( |a+b| \geq |a| - |b| \) (bất đẳng thức tam giác ngược),
- \( |a+b| \geq |b| - |a| \).

### Bước 2: Định nghĩa \( a \) và \( b \) bằng các biến mới

Đặt \( u = a + b \) và \( v = a - b \). Khi đó ta có:

- \( |a + b| = |u| \),
- \( |a - b| = |v| \).

Chúng ta cũng có thể viết lại:

\[
a = \frac{u + v}{2}, \quad b = \frac{u - v}{2}.
\]

### Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức tam giác

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

\[
|a + b| + |a - b| \geq |a| + |b|.
\]

Điều này trực tiếp chứng minh bất đẳng thức đã cho:

\[
|a| + |b| \leq |a + b| + |a - b|.
\]

### Kết luận

Bất đẳng thức đã được chứng minh dựa trên bất đẳng thức tam giác.

---

Bạn có muốn thêm chi tiết hoặc có câu hỏi gì không?

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan để mở rộng:
1. Bạn có muốn hiểu rõ hơn về bất đẳng thức tam giác?
2. Làm thế nào để bất đẳng thức tam giác được áp dụng trong các bài toán khác?
3. Bạn có muốn thử giải bất đẳng thức với các giá trị cụ thể của \(a\) và \(b\)?
4. Các bất đẳng thức tương tự nào có thể áp dụng được trong không gian vector?
5. Bạn có muốn biết cách sử dụng giá trị tuyệt đối trong các bài toán tích phân hay đạo hàm?

**Mẹo**: Khi chứng minh bất đẳng thức, việc sử dụng bất đẳng thức tam giác thường là một cách tiếp cận mạnh mẽ và trực tiếp.

Chứng minh bất đẳng thức: ∣a∣ + ∣b∣ ≤ ∣a + b∣ + ∣a − b∣

Discover how to prove the inequality |a| + |b| ≤ |a + b| + |a - b| using the triangle inequality theorem. This problem involves absolute values, inequalities, and algebra, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation