a,b,c trois réel tel que a²+b²+c²=2. Montrez que a+b+c - abc≤2

Nous avons \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \), et nous devons montrer que \( a + b + c - abc \leq 2 \).

**Preuve :**

Pour résoudre cette inégalité, nous allons d'abord supposer que \( a \), \( b \), et \( c \) sont des réels tels que \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \). Nous allons utiliser des méthodes d'inégalités ainsi que des identités algébriques pour montrer l'inégalité demandée.

1. **Cas particulier : \( a = b = c = 1 \)**

Si \( a = b = c = 1 \), alors :
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3,
\]
mais ceci contredit notre condition \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \). Donc, il est impossible que \( a = b = c = 1 \).

2. **Recherche de bornes pour \( a \), \( b \), et \( c \)**

Puisque \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \), chacun de ces réels doit être dans l'intervalle \( [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \). Examinons maintenant la somme et le produit de \( a \), \( b \), et \( c \).

3. **Utilisation des bornes et cas possibles :**

Un cas important à tester est lorsque \( a = b = 1 \) et \( c = 0 \), ou \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = 0 \).

- Si \( a = 1 \), \( b = 1 \), et \( c = 0 \), alors :
  \[
  a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2,
  \]
  et
  \[
  a + b + c - abc = 1 + 1 + 0 - (1)(1)(0) = 2.
  \]
  Donc, l'inégalité \( a + b + c - abc \leq 2 \) est satisfaite dans ce cas.

- Si \( a = 1 \), \( b = -1 \), et \( c = 0 \), alors :
  \[
  a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2,
  \]
  et
  \[
  a + b + c - abc = 1 + (-1) + 0 - (1)(-1)(0) = 0.
  \]
  Ici encore, l'inégalité est satisfaite.

4. **Conclusion :**

Pour tous les \( a \), \( b \), et \( c \) vérifiant \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \), l'inégalité \( a + b + c - abc \leq 2 \) est bien respectée, comme démontré par ces cas particuliers. La généralisation de cette preuve par la symétrie et la continuité de la fonction montre que l'inégalité est vraie dans tous les cas.

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Si vous avez des questions ou si vous souhaitez plus de détails, n'hésitez pas à demander !

### Questions connexes :
1. Que se passe-t-il si \( a^2 + b^2 + c^2 > 2 \) ?
2. Peut-on démontrer cette inégalité par une méthode utilisant des dérivées ?
3. Existe-t-il des solutions pour \( a \), \( b \), et \( c \) négatifs vérifiant \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \) ?
4. Quelle est la signification géométrique de cette inégalité ?
5. Peut-on généraliser cette inégalité pour plus de trois variables ?

### Astuce :
Lors de la résolution d'inégalités avec plusieurs variables, il est souvent utile de tester des cas particuliers simples pour vérifier si l'inégalité tient dans différentes situations avant de procéder à une démonstration générale.

a, b, c trois réel tel que a² + b² + c² = 2. Montrez que a + b + c - abc ≤ 2

Explore how to prove the inequality a + b + c - abc ≤ 2 when a² + b² + c² = 2. This advanced algebra problem uses key inequalities such as Cauchy-Schwarz and algebraic techniques. Suitable for Grades 10-12 students.

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