hãy chứng minh rằng a^2+b^2+c^2+d^2>=a(b+c+d)

Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq a(b + c + d)
\]

### Chứng minh:
Ta bắt đầu bằng cách biến đổi biểu thức bất đẳng thức.

1. Chuyển tất cả các hạng tử về cùng một vế:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a(b + c + d) \geq 0
\]

2. Phân tích biểu thức phía trái:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - ab - ac - ad
\]

3. Bây giờ ta nhóm các hạng tử một cách hợp lý:

\[
(a^2 - ab) + (b^2) + (c^2 - ac) + (d^2 - ad)
\]

4. Biểu thức này có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (a - c)^2 + (a - d)^2] + b^2 + c^2 + d^2
\]

5. Ta nhận thấy rằng tất cả các bình phương \((a - b)^2\), \((a - c)^2\), \((a - d)^2\) đều là các số không âm (vì bình phương của một số luôn không âm), và tổng của chúng cũng sẽ không âm:

\[
\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (a - c)^2 + (a - d)^2] + b^2 + c^2 + d^2 \geq 0
\]

Vì vậy:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq a(b + c + d)
\]

Bất đẳng thức được chứng minh. 

**Bạn có câu hỏi nào không hoặc cần thêm chi tiết không?**

### 5 Câu hỏi mở rộng:
1. Điều kiện nào để xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức đã chứng minh?
2. Bất đẳng thức trên có thể áp dụng cho các số âm không?
3. Làm thế nào để mở rộng bất đẳng thức này cho nhiều biến hơn?
4. Có cách chứng minh nào khác cho bất đẳng thức này không?
5. Có thể áp dụng bất đẳng thức này trong các bài toán hình học không?

### Mẹo:
Khi gặp các bất đẳng thức chứa bình phương, thử nhóm các hạng tử thành các biểu thức bình phương để dễ dàng chứng minh.

Learn how to prove the inequality a^2 + b^2 + c^2 + d^2 >= a(b + c + d) with detailed step-by-step reasoning. This problem involves using algebraic inequalities and quadratic forms, suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation