segun la ecuacion 3x+7y+1=0 nos da para encontrar las rectas paralelas (-4,2) y la recta perpendicular(4,-3)

Para encontrar las rectas paralelas y perpendiculares a la recta dada por la ecuación \( 3x + 7y + 1 = 0 \), necesitamos determinar algunas propiedades clave de la recta.

### 1. **Reescribir la ecuación en su forma pendiente-intercepto**
La forma pendiente-intercepto de una recta es \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la ordenada al origen. Vamos a reescribir \( 3x + 7y + 1 = 0 \) en esta forma:

\[
3x + 7y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 7y = -3x - 1
\]
\[
y = -\frac{3}{7}x - \frac{1}{7}
\]

Aquí, la pendiente de la recta original es \( m = -\frac{3}{7} \).

### 2. **Rectas paralelas a la dada que pasan por \((-4, 2)\)**
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto, una recta paralela a la original tendrá la misma pendiente \( m = -\frac{3}{7} \) y pasará por el punto \((-4, 2)\). Usamos la ecuación punto-pendiente:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Donde \( (x_1, y_1) = (-4, 2) \) y \( m = -\frac{3}{7} \):

\[
y - 2 = -\frac{3}{7}(x + 4)
\]
\[
y - 2 = -\frac{3}{7}x - \frac{12}{7}
\]
\[
y = -\frac{3}{7}x - \frac{12}{7} + \frac{14}{7}
\]
\[
y = -\frac{3}{7}x + \frac{2}{7}
\]

La ecuación de la recta paralela que pasa por \((-4, 2)\) es \( y = -\frac{3}{7}x + \frac{2}{7} \).

### 3. **Recta perpendicular a la dada que pasa por \((4, -3)\)**
Las rectas perpendiculares tienen pendientes negativas recíprocas. La pendiente de la recta original es \( m = -\frac{3}{7} \), así que la pendiente de la recta perpendicular será:

\[
m_{\perpendicular} = \frac{7}{3}
\]

Ahora usamos nuevamente la ecuación punto-pendiente para la recta perpendicular que pasa por el punto \( (4, -3) \):

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
\[
y + 3 = \frac{7}{3}(x - 4)
\]
\[
y + 3 = \frac{7}{3}x - \frac{28}{3}
\]
\[
y = \frac{7}{3}x - \frac{28}{3} - 3
\]
\[
y = \frac{7}{3}x - \frac{28}{3} - \frac{9}{3}
\]
\[
y = \frac{7}{3}x - \frac{37}{3}
\]

La ecuación de la recta perpendicular que pasa por \( (4, -3) \) es \( y = \frac{7}{3}x - \frac{37}{3} \).

### Conclusión:
- La ecuación de la **recta paralela** que pasa por \( (-4, 2) \) es \( y = -\frac{3}{7}x + \frac{2}{7} \).
- La ecuación de la **recta perpendicular** que pasa por \( (4, -3) \) es \( y = \frac{7}{3}x - \frac{37}{3} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la pendiente de una recta a partir de su ecuación general?
2. ¿Qué significa que dos rectas sean perpendiculares?
3. ¿Cómo encontrar la distancia entre dos rectas paralelas?
4. ¿Qué papel juegan las pendientes en la geometría analítica?
5. ¿Cómo se grafica una recta a partir de su ecuación?

### Tip:
Para encontrar rectas paralelas, siempre verifica que las pendientes sean exactamente iguales.

Learn how to find parallel and perpendicular lines to the equation 3x + 7y + 1 = 0. This problem involves rewriting the equation in slope-intercept form and applying the point-slope formula to calculate parallel lines passing through (-4, 2) and perpendicular lines through (4, -3). Ideal for students in Grades 9-12.

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