Carmen, consumidora de nueces y boniatos, tiene una función de Utilidad igual a: 

U(x1,x2)=x21x32
U
x
1
,
x
2
=
x
1
2
x
2
3
 
 

 

Si el precio de las nueces (
p1
p
1
 
) es de USD 4, el de los boniatos (
p2
p
2
 
) USD 8 y posee una renta (
m
m
 
) de USD 200, ¿Cuántas unidades cada bien elegirá en su punto óptimo? 

Para resolver este problema de elección óptima de consumo de Carmen, debemos seguir estos pasos:

1. **Función de Utilidad**: 
   La función de utilidad que describe las preferencias de Carmen es:

   \[
   U(x_1, x_2) = x_1^2 \cdot x_2^3
   \]
   
   Donde \(x_1\) es la cantidad de nueces y \(x_2\) es la cantidad de boniatos.

2. **Restricción presupuestaria**:
   La restricción presupuestaria que enfrenta Carmen se expresa como:

   \[
   p_1 x_1 + p_2 x_2 = m
   \]
   
   Donde:
   - \(p_1 = 4\) (precio de las nueces),
   - \(p_2 = 8\) (precio de los boniatos),
   - \(m = 200\) (renta total).

   Entonces, la restricción es:

   \[
   4x_1 + 8x_2 = 200
   \]

3. **Maximización de la utilidad**:
   Para encontrar las cantidades óptimas \(x_1^*\) y \(x_2^*\) que maximicen la utilidad de Carmen, utilizamos el método de **Lagrange**. La función Lagrangiana es:

   \[
   \mathcal{L}(x_1, x_2, \lambda) = x_1^2 \cdot x_2^3 + \lambda (200 - 4x_1 - 8x_2)
   \]

   Ahora derivamos con respecto a \(x_1\), \(x_2\) y \(\lambda\):

   - Derivada parcial con respecto a \(x_1\):
     \[
     \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = 2x_1 x_2^3 - 4\lambda = 0
     \]
   - Derivada parcial con respecto a \(x_2\):
     \[
     \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 3x_1^2 x_2^2 - 8\lambda = 0
     \]
   - Derivada parcial con respecto a \(\lambda\) (la restricción presupuestaria):
     \[
     \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 200 - 4x_1 - 8x_2 = 0
     \]

4. **Relación óptima entre bienes**:
   Resolvemos las dos primeras ecuaciones para encontrar la relación entre \(x_1\) y \(x_2\). De la primera ecuación:

   \[
   2x_1 x_2^3 = 4\lambda \implies \lambda = \frac{x_1 x_2^3}{2}
   \]

   De la segunda ecuación:

   \[
   3x_1^2 x_2^2 = 8\lambda \implies \lambda = \frac{3x_1^2 x_2^2}{8}
   \]

   Igualando ambas expresiones para \(\lambda\):

   \[
   \frac{x_1 x_2^3}{2} = \frac{3x_1^2 x_2^2}{8}
   \]

   Simplificamos:

   \[
   4x_1 x_2^3 = 3x_1^2 x_2^2
   \]

   Dividimos ambos lados entre \(x_1 x_2^2\) (asumiendo que \(x_1 > 0\) y \(x_2 > 0\)):

   \[
   4x_2 = 3x_1
   \]

   Esto nos da la relación óptima entre las cantidades consumidas:

   \[
   x_2 = \frac{3}{4}x_1
   \]

5. **Sustitución en la restricción presupuestaria**:
   Sustituimos esta relación en la restricción presupuestaria \(4x_1 + 8x_2 = 200\):

   \[
   4x_1 + 8\left(\frac{3}{4}x_1\right) = 200
   \]

   Simplificamos:

   \[
   4x_1 + 6x_1 = 200 \implies 10x_1 = 200
   \]

   Por lo tanto:

   \[
   x_1 = 20
   \]

6. **Calcular \(x_2\)**:
   Usamos la relación \(x_2 = \frac{3}{4}x_1\) para calcular \(x_2\):

   \[
   x_2 = \frac{3}{4}(20) = 15
   \]

### Solución:
Carmen elegirá consumir **20 unidades de nueces** y **15 unidades de boniatos** en su punto óptimo de consumo.

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpretan las derivadas parciales en el método de Lagrange?
2. ¿Qué sucede si los precios de los bienes cambian?
3. ¿Cómo afecta la restricción presupuestaria al consumo óptimo?
4. ¿Qué ocurriría si la función de utilidad fuera diferente?
5. ¿Cómo se puede interpretar gráficamente este problema?

**Tip**: Las relaciones entre bienes, como la proporción \(x_2 = \frac{3}{4}x_1\), son muy útiles para reducir el número de variables en problemas de optimización.

Carmen, consumidora de nueces y boniatos, tiene una función de Utilidad igual a: U(x1,x2)=x1^2 * x2^3. Si el precio de las nueces (p1) es de USD 4, el de los boniatos (p2) USD 8 y posee una renta (m) de USD 200, ¿Cuántas unidades cada bien elegirá en su punto óptimo?

Learn how to solve Carmen's utility maximization problem with a utility function of U(x1,x2)=x1^2 * x2^3. With prices of USD 4 for nuts and USD 8 for sweet potatoes, and a total income of USD 200, find out how many units of each good Carmen will choose to consume.

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