Beates Nutzenfunktion für die Mengen x, y ≥ 0 der Güter 1 und 2 sei gegeben durch
u(x, y) = x−1/2*x^2+y

Sie besitzt die Anfangsausstattung (ω1, ω2) = (1, 1).
Der Preis f¨ur Gut 1 ist durch p1 > 0 und der Preis f¨ur Gut 2 ist durch p2 = 1 gegeben.
Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr? Welche der Aussagen ist/sind falsch?
a) Beate ist Nettoanbieterin von Gut 1 und Nettoanbieterin von Gut 2.
b) Beate ist Nettoanbieterin von Gut 1 und Nettonachfragerin von Gut 2.
c) Beate ist Nettonachfragerin von Gut 1 und Nettoanbieterin von Gut 2.
d) Beate ist Nettonachfragerin von Gut 1 und Nettonachfragerin von Gut 2.

Um die Richtigkeit der Aussagen zu überprüfen, muss man zunächst Beates Optimierungsproblem lösen, also ihr Nachfrageverhalten analysieren. Dazu betrachten wir ihre Nutzenfunktion und das Budgetgleichgewicht. 

### 1. Nutzenfunktion
Die gegebene Nutzenfunktion lautet:
\[
u(x, y) = -\frac{1}{2}x^2 + y
\]
Dabei stehen \( x \) für die Menge des Guts 1 und \( y \) für die Menge des Guts 2.

### 2. Anfangsausstattung und Preise
Die Anfangsausstattung ist \( (\omega_1, \omega_2) = (1, 1) \), d.h., sie besitzt eine Einheit von Gut 1 und eine Einheit von Gut 2.

Die Preise für die Güter sind:
- \( p_1 > 0 \) für Gut 1
- \( p_2 = 1 \) für Gut 2.

Beate hat also ein Budget von \( p_1 \cdot \omega_1 + p_2 \cdot \omega_2 = p_1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = p_1 + 1 \).

### 3. Beates Optimierungsproblem
Beate maximiert ihren Nutzen unter der Budgetrestriktion:
\[
\max_{x, y} \quad u(x, y) = -\frac{1}{2}x^2 + y
\]
unter der Bedingung:
\[
p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = p_1 + 1
\]
Da \( p_2 = 1 \), wird das Budget zu:
\[
p_1 \cdot x + y = p_1 + 1.
\]

### 4. Optimierung durch Lagrange-Verfahren

Die Lagrange-Funktion lautet:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = -\frac{1}{2}x^2 + y + \lambda \left( p_1 \cdot x + y - (p_1 + 1) \right).
\]
Die notwendigen Optimalitätsbedingungen sind die partiellen Ableitungen nach \( x \), \( y \) und \( \lambda \):
- \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = -x + \lambda p_1 = 0\)
- \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 + \lambda = 0\)
- \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = p_1 \cdot x + y - (p_1 + 1) = 0\).

#### Schritt 1: Lösung für \( \lambda \)
Aus \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 + \lambda = 0\) folgt:
\[
\lambda = -1.
\]

#### Schritt 2: Lösung für \( x \)
Setze \(\lambda = -1\) in \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = -x + \lambda p_1 = 0\) ein:
\[
-x - p_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -p_1.
\]

#### Schritt 3: Lösung für \( y \)
Setze \( x = -p_1 \) in die Budgetgleichung \( p_1 \cdot x + y = p_1 + 1 \) ein:
\[
p_1 \cdot (-p_1) + y = p_1 + 1 \quad \Rightarrow \quad -p_1^2 + y = p_1 + 1 \quad \Rightarrow \quad y = p_1^2 + p_1 + 1.
\]

### 5. Beurteilung der Aussagen

Jetzt, da wir die optimalen Mengen von \( x = -p_1 \) und \( y = p_1^2 + p_1 + 1 \) kennen, können wir die Aussagen bewerten.

- **\( x = -p_1 \)**: Da \( p_1 > 0 \), ist \( x < 0 \). Das bedeutet, Beate verkauft Gut 1, also ist sie Nettoanbieterin von Gut 1.
- **\( y = p_1^2 + p_1 + 1 > 1 \)**: Da \( y > 1 \), kauft Beate mehr von Gut 2 als sie ursprünglich besaß. Daher ist sie Nettonachfragerin von Gut 2.

### Antworten auf die Aussagen:
- **a) Beate ist Nettoanbieterin von Gut 1 und Nettoanbieterin von Gut 2.**
  - **Falsch**. Sie ist zwar Nettoanbieterin von Gut 1, aber Nettonachfragerin von Gut 2.

- **b) Beate ist Nettoanbieterin von Gut 1 und Nettonachfragerin von Gut 2.**
  - **Richtig**. Sie verkauft Gut 1 und kauft Gut 2.

- **c) Beate ist Nettonachfragerin von Gut 1 und Nettoanbieterin von Gut 2.**
  - **Falsch**. Sie ist Anbieterin von Gut 1 und Nachfragerin von Gut 2.

- **d) Beate ist Nettonachfragerin von Gut 1 und Nettonachfragerin von Gut 2.**
  - **Falsch**. Sie ist Nachfragerin von Gut 2, aber Anbieterin von Gut 1.

### Zusammenfassung:
- Richtig: **b)**.
- Falsch: **a)**, **c)**, **d)**.

Möchtest du Details zu einem bestimmten Teil oder hast du weitere Fragen?

**Verwandte Fragen:**
1. Wie ändert sich die optimale Menge, wenn \( p_1 \) steigt?
2. Welche Art von Präferenzen modelliert diese Nutzenfunktion?
3. Was wäre das Ergebnis, wenn \( p_2 \neq 1 \) wäre?
4. Wie wirkt sich eine Veränderung in der Anfangsausstattung auf die Lösung aus?
5. Wie sieht das grafische Gleichgewicht in diesem Modell aus?

**Tipp**: Um zu verstehen, warum Beate Anbieterin eines Gutes ist, ist es wichtig, die Zeichen der optimalen Lösungen für \( x \) und \( y \) in Abhängigkeit der Preise zu betrachten.

Beates Nutzenfunktion für die Mengen x, y ≥ 0 der Güter 1 und 2 sei gegeben durch u(x, y) = x−1/2*x^2+y. Sie besitzt die Anfangsausstattung (ω1, ω2) = (1, 1). Der Preis für Gut 1 ist durch p1 > 0 und der Preis für Gut 2 ist durch p2 = 1 gegeben. Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr? Welche der Aussagen ist/sind falsch? a) Beate ist Nettoanbieterin von Gut 1 und Nettoanbieterin von Gut 2. b) Beate ist Nettoanbieterin von Gut 1 und Nettonachfragerin von Gut 2. c) Beate ist Nettonachfragerin von Gut 1 und Nettoanbieterin von Gut 2. d) Beate ist Nettonachfragerin von Gut 1 und Nettonachfragerin von Gut 2.

This page solves a utility maximization problem using the Lagrange multiplier method. Given Beate's utility function u(x, y) = -1/2*x^2 + y, her initial endowment, and price constraints, the solution determines her consumption behavior and net supplier or demander status for goods 1 and 2. This is ideal for undergraduate economics students learning optimization techniques.

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