Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución normal, de media 100 cm y desviación típica 5 cm. a) sobre la figura que aparece a continuación, sombree la región que representa P(X>105), b) Sabiendo que P(X>105), halle el valor de d; c) Sabiendo que P(X>105)=0,16 (redondeando a dos cifras significativas) Halle P(d<X<105)

Vamos a resolver el problema paso a paso.

### a) Representación gráfica de \( P(X > 105) \)
Dado que \( X \) sigue una distribución normal con media \( \mu = 100 \) cm y desviación estándar \( \sigma = 5 \) cm, la distribución se centra en 100 cm y tiene un ancho que se extiende de manera simétrica hacia ambos lados.

Para representar \( P(X > 105) \), debemos sombrear la región de la curva normal a la derecha de 105 cm.

### b) Cálculo de \( P(X > 105) \)
Para calcular \( P(X > 105) \), primero debemos estandarizar la variable aleatoria \( X \) convirtiéndola en una variable normal estándar \( Z \):

\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{105 - 100}{5} = 1
\]

Luego, buscamos \( P(Z > 1) \) en la tabla de la distribución normal estándar:

\[
P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587
\]

Por lo tanto, \( P(X > 105) \approx 0.1587 \).

### c) Cálculo de \( P(d < X < 105) \)
Sabemos que \( P(X > 105) = 0.16 \) (redondeado a dos cifras significativas), lo que coincide aproximadamente con lo que encontramos en el apartado b.

Ahora, debemos hallar \( P(d < X < 105) \), es decir, la probabilidad de que \( X \) esté entre \( d \) y 105 cm.

Para esto, identificamos \( d \) tal que:

\[
P(X > d) = 0.16 + P(d < X < 105)
\]

Si \( P(d < X < 105) \) es lo que buscamos, y sabiendo que \( P(X > 105) = 0.16 \), debemos encontrar \( d \) tal que:

\[
P(X > d) = 0.16 + P(d < X < 105)
\]

Esto se simplifica a buscar el valor de \( d \) tal que \( P(d < X < 105) \) complemente a 0.16 para que la suma de probabilidades sea coherente.

Primero calculamos \( d \) usando la tabla normal para \( P(Z > z_d) = 0.16 \). Buscamos \( z_d \) tal que:

\[
P(Z > z_d) = 0.16
\]

En la tabla estándar, el valor de \( z_d \) que satisface esto es aproximadamente \( z_d = 1 \).

Luego, convertimos \( Z \) de vuelta a \( X \):

\[
d = \mu - z_d \cdot \sigma = 100 - 1 \times 5 = 95
\]

Finalmente, calculamos \( P(d < X < 105) \):

\[
P(d < X < 105) = P(95 < X < 105) = P(0 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < 0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413
\]

Redondeando a dos cifras significativas:

\[
P(d < X < 105) \approx 0.34
\]

### Resumen
- **a)** La región a sombrear es la parte derecha de la curva, más allá de \( X = 105 \).
- **b)** \( P(X > 105) \approx 0.1587 \).
- **c)** \( P(95 < X < 105) \approx 0.34 \).

¿Quieres algún detalle adicional o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la probabilidad utilizando la tabla de la distribución normal?
2. ¿Qué es una distribución normal estándar y cómo se usa en este contexto?
3. ¿Por qué se resta de 1 para encontrar \( P(X > 105) \)?
4. ¿Cómo se convierte una variable normal a una variable normal estándar?
5. ¿Qué importancia tiene la desviación estándar en una distribución normal?
6. ¿Cómo afectan las propiedades de la distribución normal al cálculo de probabilidades?
7. ¿Qué ocurre si la media cambia en la distribución normal?
8. ¿Por qué es importante redondear las probabilidades a dos cifras significativas?

**Tip:** Siempre revisa la tabla de la distribución normal para asegurarte de interpretar correctamente los valores al hacer conversiones y cálculos.

Explore how to solve a probability problem involving a normal distribution with mean 100 cm and standard deviation 5 cm. Learn step-by-step how to calculate P(X > 105) and P(95 < X < 105) using Z-scores and the standard normal distribution table.

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