 La demanda mensual de cierto producto se encuentra normalmente distribuida con media 
500 y desvío 80 unidades.  
a) ¿Cuál es la variable aleatoria y qué distribución sigue 
b)  Calcula la probabilidad de que en un mes sean demandadas a lo sumo 700 unidades 
c) Calcula la probabilidad de que en un mes  sean demandadas entre 350 y 650 unidades

Para abordar el problema planteado, vamos a analizar cada parte paso a paso:

### a) Identificación de la variable aleatoria y su distribución

**Variable aleatoria**: En este contexto, la variable aleatoria es la **demanda mensual del producto**.

**Distribución**: La demanda mensual está **normalmente distribuida** con una **media (\(\mu\))** de 500 unidades y un **desvío estándar (\(\sigma\))** de 80 unidades.  
Por lo tanto, podemos denotar la variable aleatoria \(X\) como:

\[
X \sim N(\mu = 500, \sigma = 80)
\]

### b) Probabilidad de que la demanda sea a lo sumo 700 unidades

Para encontrar la probabilidad de que se demanden a lo sumo 700 unidades, necesitamos calcular:

\[
P(X \leq 700)
\]

Primero, convertimos la variable aleatoria \(X\) a una variable normal estándar \(Z\) utilizando la transformación:

\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]

Para \(X = 700\):

\[
Z = \frac{700 - 500}{80} = \frac{200}{80} = 2.5
\]

Ahora, buscamos la probabilidad correspondiente a \(Z \leq 2.5\) en la tabla de la distribución normal estándar:

\[
P(Z \leq 2.5) \approx 0.9938
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la demanda sea a lo sumo 700 unidades es aproximadamente **0.9938** o **99.38%**.

### c) Probabilidad de que la demanda esté entre 350 y 650 unidades

Queremos calcular la probabilidad:

\[
P(350 \leq X \leq 650)
\]

Primero, calculamos los valores \(Z\) correspondientes para \(X = 350\) y \(X = 650\).

Para \(X = 350\):

\[
Z = \frac{350 - 500}{80} = \frac{-150}{80} = -1.875
\]

Para \(X = 650\):

\[
Z = \frac{650 - 500}{80} = \frac{150}{80} = 1.875
\]

Ahora, buscamos las probabilidades correspondientes en la tabla de la distribución normal estándar:

\[
P(Z \leq 1.875) \approx 0.9693
\]
\[
P(Z \leq -1.875) \approx 0.0307
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la demanda esté entre 350 y 650 unidades es:

\[
P(350 \leq X \leq 650) = P(Z \leq 1.875) - P(Z \leq -1.875) \approx 0.9693 - 0.0307 = 0.9386
\]

Así que la probabilidad es aproximadamente **0.9386** o **93.86%**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se calculan las probabilidades usando la distribución normal estándar sin tabla?
2. ¿Qué representa la media (\(\mu\)) y el desvío estándar (\(\sigma\)) en una distribución normal?
3. ¿Cómo afecta el cambio en la media o el desvío estándar a la distribución normal?
4. ¿Qué otros tipos de distribuciones de probabilidad son comunes y cómo se diferencian de la distribución normal?
5. ¿Cómo se aplica la distribución normal en la toma de decisiones empresariales?

### Consejo

Cuando trabajes con distribuciones normales, es útil familiarizarte con los valores críticos de la distribución normal estándar, como los de 1, 1.96 y 2.58, que corresponden a probabilidades específicas y son comúnmente usados en estadísticas.

Learn how to calculate probabilities using the normal distribution with a mean of 500 and a standard deviation of 80. Solve for probabilities of demand ranging from at most 700 units to between 350 and 650 units in a month.

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