Ein massiver Stahlstab der Länge von 1.2 m und einem Durchmesser von 21 cm wird auf 630 °C erwärmt und zur Abkühlung senkrecht frei in ruhender Luft von 30 °C aufgehängt.

Der Stab kann als schwarzer Strahler betrachtet werden.

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kleine Hilfe: 

Netto = Abgestrahlte Wärme eines Körpers minus aufgenommene Wärme aus der Umgebung 

Brutto = Gesamtabstrahlung eines Körpers ohne Berücksichtigung von jeglicher Einstrahlung 



a) Bestimmen Sie den vom Eisenstab durch Strahlung abgegebenen netto-Wärmestrom zu Beginn des Abkühlvorgangs.

Geben Sie den Betrag des Wärmestroms in kW an: 

b) Welche absolute Wärmestromdichte (brutto) besitzt die, zu Beginn des Abkühlvorgangs, vom Eisenstab an die Umgebung abgegebene Strahlung?

Geben Sie die Wärmestromdichte in   an: 


Um den vom Stahlstab abgegebenen netto-Wärmestrom zu berechnen, müssen wir das Stefan-Boltzmann-Gesetz anwenden, da der Stab als schwarzer Strahler betrachtet wird. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz lautet:

\[
P = \sigma A (T^4 - T_\text{umg}^4)
\]

Dabei ist:

- \(P\) der abgegebene netto-Wärmestrom (in Watt, W),
- \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann-Konstante, \(\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)\),
- \(A\) die Oberfläche des Stahlstabs (in Quadratmetern, m²),
- \(T\) die Temperatur des Stahlstabs (in Kelvin, K),
- \(T_\text{umg}\) die Umgebungstemperatur (in Kelvin, K).

### Schritt a) Netto-Wärmestrom

1. **Temperaturen umrechnen**:
   - Temperatur des Stahlstabs: \( T = 630^\circ C = 630 + 273.15 = 903.15 \, \text{K} \)
   - Umgebungstemperatur: \( T_\text{umg} = 30^\circ C = 30 + 273.15 = 303.15 \, \text{K} \)

2. **Berechnung der Oberfläche des Zylinders**:
   Da der Stab eine Länge von \( 1.2 \, \text{m} \) und einen Durchmesser von \( 21 \, \text{cm} = 0.21 \, \text{m} \) hat, berechnen wir die Oberfläche des Zylinders:
   \[
   A = \pi d l = \pi \times 0.21 \, \text{m} \times 1.2 \, \text{m}
   \]
   
3. **Stefan-Boltzmann-Gesetz anwenden**:
   \[
   P = \sigma A (T^4 - T_\text{umg}^4)
   \]

Nun werde ich diese Schritte ausführen, um den netto-Wärmestrom zu berechnen.Der vom Stahlstab durch Strahlung abgegebene netto-Wärmestrom zu Beginn des Abkühlvorgangs beträgt etwa **29,49 kW**.

### Schritt b) Brutto-Wärmestromdichte

Die brutto-Wärmestromdichte (Strahlungsleistung pro Fläche) wird berechnet ohne Berücksichtigung der Umgebungstemperatur. Das bedeutet, wir verwenden nur die Temperatur des Stabs:

\[
j = \sigma T^4
\]

Dabei ist \(j\) die Wärmestromdichte in \( \text{W}/\text{m}^2 \).

Nun werde ich die brutto-Wärmestromdichte berechnen.Die brutto-Wärmestromdichte, die zu Beginn des Abkühlvorgangs vom Stahlstab an die Umgebung abgegeben wird, beträgt etwa **37.724 W/m²**.

### Zusammenfassung:
- **a)** Der abgegebene netto-Wärmestrom beträgt **29,49 kW**.
- **b)** Die brutto-Wärmestromdichte beträgt **37.724 W/m²**.

Möchtest du mehr Details oder hast du Fragen zu den Berechnungen?

Hier sind 5 weiterführende Fragen:
1. Wie ändert sich der Wärmestrom, wenn der Stab eine größere Oberfläche hat?
2. Was passiert mit dem Wärmestrom, wenn die Umgebungstemperatur erhöht wird?
3. Wie beeinflusst die Länge des Stabs die Abkühlgeschwindigkeit?
4. Warum ist die Wärmestrahlung bei höheren Temperaturen so viel größer?
5. Wie unterscheidet sich die Strahlung zwischen einem schwarzen und einem grauen Strahler?

**Tipp:** Die Strahlungsleistung ist proportional zur vierten Potenz der Temperatur, daher steigt sie bei hohen Temperaturen sehr schnell an!

Ein massiver Stahlstab der Länge von 1.2 m und einem Durchmesser von 21 cm wird auf 630 °C erwärmt und zur Abkühlung senkrecht frei in ruhender Luft von 30 °C aufgehängt. Der Stab kann als schwarzer Strahler betrachtet werden.

 a) Bestimmen Sie den vom Eisenstab durch Strahlung abgegebenen netto-Wärmestrom zu Beginn des Abkühlvorgangs. Geben Sie den Betrag des Wärmestroms in kW an.

 b) Welche absolute Wärmestromdichte (brutto) besitzt die, zu Beginn des Abkühlvorgangs, vom Eisenstab an die Umgebung abgegebene Strahlung? Geben Sie die Wärmestromdichte in W/m² an.

Berechne den netto-Wärmestrom und die brutto-Wärmestromdichte eines 1.2 m langen Stahlstabs bei einer Temperatur von 630 °C. Erlerne die Anwendung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes für die Strahlung eines schwarzen Strahlers und finde heraus, wie viel Wärme in kW und W/m² an die Umgebung abgegeben wird. Ideal für Studenten der Thermodynamik.

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