Dada la funcion: w(z)=-4/j·z²
a) Determinar el modulo y argumento en coordenadas polares
b) Analice si w(z) es analitica y donde lo es. Justifique claramente.
c)Determinar los valores z para w(z)=j+4. Escribalos en su forma binomica.
d)Encuentre el trnasformado de la region |z|>=1 ;0<=α<=pi/4. Transforme el punto P(2;pi/8)

Dada la función \( w(z) = \frac{-4}{j} \cdot z^2 \), podemos resolver cada uno de los apartados de la siguiente manera:

### a) Determinar el módulo y argumento en coordenadas polares

Primero, reescribimos la función \( w(z) \) de manera más clara:

\[
w(z) = -4j^{-1} z^2
\]

Donde \( j^{-1} = -j \) (ya que \( j \cdot j = -1 \)), por lo tanto:

\[
w(z) = 4jz^2
\]

Ahora, si \( z \) está en coordenadas polares, podemos escribir \( z \) como:

\[
z = r \cdot e^{j\theta}
\]

donde \( r = |z| \) es el módulo y \( \theta \) es el argumento de \( z \). Entonces:

\[
z^2 = r^2 \cdot e^{j2\theta}
\]

Sustituyendo en \( w(z) \):

\[
w(z) = 4j \cdot r^2 \cdot e^{j2\theta} = 4r^2 \cdot e^{j(2\theta + \pi/2)}
\]

De aquí, el módulo de \( w(z) \) es:

\[
|w(z)| = 4r^2
\]

Y el argumento de \( w(z) \) es:

\[
\text{arg}(w(z)) = 2\theta + \frac{\pi}{2}
\]

### b) Analizar si \( w(z) \) es analítica y dónde lo es. Justifique claramente.

Una función es analítica si es derivable en cada punto de un dominio abierto y la derivada es continua en dicho dominio. Para comprobar si \( w(z) \) es analítica, podemos observar que la función es un polinomio de \( z \) multiplicado por una constante compleja. Los polinomios son funciones enteras, es decir, son analíticas en todo el plano complejo.

Entonces, \( w(z) \) es analítica en todo \( \mathbb{C} \).

### c) Determinar los valores \( z \) para \( w(z) = j + 4 \). Escribirlos en su forma binómica.

Primero, reescribimos \( w(z) \) en términos de \( z \) y luego igualamos a \( j + 4 \):

\[
4z^2j = j + 4
\]

Dividimos ambos lados por \( j \):

\[
4z^2 = 1 - 4j
\]

Resolviendo para \( z^2 \):

\[
z^2 = \frac{1 - 4j}{4}
\]

\[
z^2 = \frac{1}{4} - j
\]

Ahora, hallamos la raíz cuadrada de ambos lados:

\[
z = \sqrt{\frac{1}{4} - j}
\]

Para encontrar la raíz, convertimos el número en forma polar:

\[
\frac{1}{4} - j = r \cdot e^{j\theta}
\]

Donde \( r = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{17} \) y \( \theta = \text{arg}\left(\frac{1}{4} - j\right) = -\arctan(4) \).

La raíz cuadrada en forma polar es:

\[
z = \sqrt{r} \cdot e^{j\frac{\theta}{2}}
\]

\[
z = \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{2}} \cdot e^{j\frac{-\arctan(4)}{2}}
\]

Escribiendo en forma binómica, las soluciones serán:

\[
z = a + jb
\]

Donde \( a \) y \( b \) son las partes real e imaginaria obtenidas al convertir la forma polar a binómica.

### d) Encontrar el transformado de la región \( |z| \geq 1 \); \( 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4} \). Transforme el punto \( P(2; \frac{\pi}{8}) \).

Para analizar la región:

1. La región \( |z| \geq 1 \) se transforma en \( |w(z)| \geq 4 \), ya que \( |w(z)| = 4|z|^2 \).
2. La región angular \( 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4} \) se transforma en \( \frac{\pi}{2} \leq \text{arg}(w(z)) \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \).

Entonces, la región transformada en \( w(z) \) es \( |w(z)| \geq 4 \) y \( \frac{\pi}{2} \leq \text{arg}(w(z)) \leq \frac{3\pi}{4} \).

Para el punto \( P(2; \frac{\pi}{8}) \):

\[
w(P) = 4 \cdot 2^2 \cdot e^{j(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2})} = 16e^{j\frac{5\pi}{8}}
\]

La coordenada binómica del transformado será:

\[
w(P) = 16\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + j \cdot 16\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)
\]

Esto nos da el punto transformado en coordenadas binómicas.

---

¿Quieres que desarrolle más alguno de estos apartados o tienes alguna otra duda?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la analiticidad de una función compleja en un dominio?
2. ¿Qué importancia tiene el argumento de una función compleja en coordenadas polares?
3. ¿Cómo se interpreta geométricamente una transformación en el plano complejo?
4. ¿Qué propiedades tienen las funciones enteras en el plano complejo?
5. ¿Qué sucede con las soluciones de una ecuación compleja al aplicar diferentes ramas de la función argumental?

### Consejo:
Al resolver problemas en el plano complejo, trabajar con formas polares suele simplificar mucho el manejo de argumentos y módulos.

Dada la función: w(z)=-4/j·z² a) Determinar el módulo y argumento en coordenadas polares b) Analice si w(z) es analítica y donde lo es. Justifique claramente. c) Determinar los valores z para w(z)=j+4. Escribalos en su forma binómica. d) Encuentre el transformado de la región |z|>=1 ;0<=α<=pi/4. Transforme el punto P(2;pi/8)

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