Durch die Außenwände eines Einfamilienhauses strömt im Winter Wärme nach außen.

An der Außenwand des Hauses wird eine Temperatur von -15 °C gemessen, an der Innenwand eine Temperatur von 18 °C. (= Kontakttemperaturen: direkt an der Wand gemessen)

Das Material der Hauswand besitzt eine Leitfähigkeit von λH = 1.0  und ist 0.5 m dick.

Die Fläche der Außenwände beträgt 130 m2, Wärmeverluste über das Hausdach können vernachlässigt werden.

Die Wärmeübergangskoeffizienten sind: αaußen= 20   und αinnen = 7 

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a) Berechnen Sie den Wärmestrom durch die Außenwände des Hauses.

Geben Sie den Betrag des Wärmestroms in Watt an: 

-

b) Um den Wärmeverlust zu reduzieren bringen Sie eine Außendämmung an der Hauswand an.

Wie dick muss eine Dämmung mit λD = 0.040   sein, damit sich der Wärmestrom auf 610 W reduziert? 

Geben Sie das Ergebnis in Metern an: 

-

c) Wie groß ist die wöchentliche Energieeinsparung durch die Dämmaßnahme bei konstanten Bedingungen?  

Gehen Sie hierfür von einem Wärmestrom von 1300 W für a) aus.

Geben Sie das Ergebnis in kWh an: 


Um die Aufgaben zu lösen, benötigen wir das Grundverständnis der Wärmeleitung und die Verwendung des **Fourierschen Wärmeleitungsgesetzes** für stationäre Wärmeleitung. Beginnen wir Schritt für Schritt mit den Berechnungen.

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### **a) Berechnung des Wärmestroms durch die Außenwände des Hauses**

Der Wärmestrom \( \dot{Q} \) durch die Außenwände kann mit der Formel:

\[
\dot{Q} = \frac{A \cdot (T_{\text{innen}} - T_{\text{außen}})}{R_{\text{gesamt}}}
\]

berechnet werden, wobei \( A \) die Fläche der Wand ist und \( T_{\text{innen}} - T_{\text{außen}} \) den Temperaturunterschied darstellt.

Der Gesamtwärmewiderstand \( R_{\text{gesamt}} \) setzt sich zusammen aus:
- Dem Widerstand der äußeren und inneren Übergangsschichten und
- Dem Widerstand des Wandmaterials.

Die Wärmewiderstände werden wie folgt berechnet:

1. **Widerstand des Materials der Hauswand:**

\[
R_{\text{Wand}} = \frac{d}{\lambda_H}
\]

   wobei \( d = 0.5 \, \text{m} \) die Dicke der Wand ist und \( \lambda_H = 1.0 \, \text{W/(mK)} \) die Wärmeleitfähigkeit des Materials der Wand.

2. **Widerstand der inneren und äußeren Übergänge:**

   \[
   R_{\text{innen}} = \frac{1}{\alpha_{\text{innen}}}, \quad R_{\text{außen}} = \frac{1}{\alpha_{\text{außen}}}
   \]

   Die Wärmeübergangskoeffizienten sind: \( \alpha_{\text{innen}} = 7 \, \text{W/(m²K)} \) und \( \alpha_{\text{außen}} = 20 \, \text{W/(m²K)} \).

Der Gesamtwiderstand \( R_{\text{gesamt}} \) ist dann:

\[
R_{\text{gesamt}} = R_{\text{außen}} + R_{\text{Wand}} + R_{\text{innen}} = \frac{1}{\alpha_{\text{außen}}} + \frac{d}{\lambda_H} + \frac{1}{\alpha_{\text{innen}}}
\]

Setzen wir die Werte ein und berechnen den Wärmestrom.

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### **b) Berechnung der Dämmstärke**

Um den Wärmestrom \( \dot{Q} \) auf 610 W zu reduzieren, bringen wir eine Außendämmung mit der Wärmeleitfähigkeit \( \lambda_D = 0.040 \, \text{W/(mK)} \) an. Die Gesamtformel für den Wärmestrom unter Berücksichtigung der Dämmung wird sein:

\[
\dot{Q} = \frac{A \cdot (T_{\text{innen}} - T_{\text{außen}})}{R_{\text{gesamt}} + R_{\text{Dämmung}}}
\]

Der Wärmewiderstand der Dämmung ist:

\[
R_{\text{Dämmung}} = \frac{d_D}{\lambda_D}
\]

wobei \( d_D \) die gesuchte Dicke der Dämmung ist. Wir setzen den neuen Wärmestrom \( \dot{Q} = 610 \, \text{W} \) ein und lösen die Gleichung nach \( d_D \) auf.

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### **c) Berechnung der wöchentlichen Energieeinsparung**

Die wöchentliche Energieeinsparung ergibt sich aus der Differenz des ursprünglichen und des neuen Wärmestroms. Der ursprüngliche Wärmestrom sei 1300 W und der reduzierte Wärmestrom ist 610 W. Die gesparte Leistung ist somit:

\[
\Delta \dot{Q} = 1300 \, \text{W} - 610 \, \text{W} = 690 \, \text{W}
\]

Die Energieeinsparung in einer Woche (7 Tage) berechnet sich durch Multiplikation der gesparten Leistung mit der Zeit in Stunden:

\[
E_{\text{gespart}} = \Delta \dot{Q} \times t
\]

wobei \( t = 7 \times 24 \, \text{Stunden} \) ist. Diese Energie wird in Wattstunden (Wh) berechnet, die dann in Kilowattstunden (kWh) umgerechnet werden.

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Ich werde jetzt alle Berechnungen ausführen.Der Wärmestrom durch die Außenwände des Hauses beträgt etwa **6192 W**.

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### **b) Berechnung der Dämmstärke**

Nun berechnen wir die Dicke der Dämmung, um den Wärmestrom auf 610 W zu reduzieren. Dafür verwenden wir die Formel:

\[
\dot{Q} = \frac{A \cdot (T_{\text{innen}} - T_{\text{außen}})}{R_{\text{gesamt}} + R_{\text{Dämmung}}}
\]

Umstellen nach der Dicke \( d_D \):

\[
R_{\text{Dämmung}} = \frac{A \cdot (T_{\text{innen}} - T_{\text{außen}})}{\dot{Q}} - R_{\text{gesamt}}
\]

\[
d_D = R_{\text{Dämmung}} \cdot \lambda_D
\]

Ich werde jetzt die Dämmstärke berechnen.Die Dicke der Dämmung muss etwa **0,254 Meter** (ca. 25,4 cm) betragen, um den Wärmestrom auf 610 W zu reduzieren.

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### **c) Berechnung der wöchentlichen Energieeinsparung**

Die gesparte Leistung ist:

\[
\Delta \dot{Q} = 1300 \, \text{W} - 610 \, \text{W} = 690 \, \text{W}
\]

Die Energieeinsparung in einer Woche (7 Tage, 24 Stunden pro Tag) berechnet sich durch:

\[
E_{\text{gespart}} = 690 \, \text{W} \times 7 \times 24 \, \text{Stunden}
\]

Ich werde nun die wöchentliche Energieeinsparung berechnen.Die wöchentliche Energieeinsparung durch die Dämmmaßnahme beträgt etwa **115,92 kWh**.

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Hast du Fragen zu den Berechnungen oder möchtest du zusätzliche Erklärungen zu einem der Schritte?

Hier sind 5 relevante Anschlussfragen:
1. Wie beeinflusst die Wärmeleitfähigkeit eines Materials den Wärmestrom?
2. Wie wirkt sich die Dicke der Dämmung auf den Gesamtwärmestrom aus?
3. Was passiert mit dem Wärmestrom, wenn die Außentemperatur weiter sinkt?
4. Welche weiteren Maßnahmen könnten den Wärmeverlust noch weiter reduzieren?
5. Wie würde sich eine andere Dämmstoffart auf die erforderliche Dicke auswirken?

**Tipp:** Die richtige Dämmung kann nicht nur den Wärmestrom senken, sondern auch den Energieverbrauch und damit die Heizkosten deutlich reduzieren.

Durch die Außenwände eines Einfamilienhauses strömt im Winter Wärme nach außen. An der Außenwand des Hauses wird eine Temperatur von -15 °C gemessen, an der Innenwand eine Temperatur von 18 °C. Das Material der Hauswand besitzt eine Leitfähigkeit von λH = 1.0  und ist 0.5 m dick. Die Fläche der Außenwände beträgt 130 m², Wärmeverluste über das Hausdach können vernachlässigt werden. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind: αaußen= 20   und αinnen = 7. a) Berechnen Sie den Wärmestrom durch die Außenwände des Hauses. b) Um den Wärmeverlust zu reduzieren bringen Sie eine Außendämmung an der Hauswand an. Wie dick muss eine Dämmung mit λD = 0.040 sein, damit sich der Wärmestrom auf 610 W reduziert? c) Wie groß ist die wöchentliche Energieeinsparung durch die Dämmaßnahme bei konstanten Bedingungen? Gehen Sie hierfür von einem Wärmestrom von 1300 W für a) aus.

Erfahren Sie, wie Sie den Wärmestrom durch die Außenwände eines Einfamilienhauses berechnen. Lernen Sie, wie eine Außendämmung die Energieeinsparung steigert. Berechnungen mit Fourier-Gesetz, Wärmewiderstand und Dämmmaterial. Geeignet für Physikstudenten.

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