F de x igual a x al cubo mas cuatro x menos 5 igual a cero

Para resolver la ecuación \( f(x) = x^3 + 4x - 5 = 0 \), necesitamos encontrar los valores de \( x \) que hacen que esta ecuación sea verdadera. Aquí están los pasos para resolverla:

1. **Identificación de la ecuación**: 
   \[
   f(x) = x^3 + 4x - 5
   \]

2. **Buscar raíces mediante factorización o métodos numéricos**: Dado que esta es una ecuación cúbica y no tiene términos cuadráticos ni lineales simples para una factorización evidente, consideramos probar con raíces racionales posibles o usar métodos numéricos.

3. **Probar con posibles raíces racionales**: Según el Teorema de las raíces racionales, las posibles raíces racionales son factores del término constante (-5) sobre los factores del coeficiente principal (1). Esto nos da las siguientes posibles raíces:
   \[
   \pm 1, \pm 5
   \]

4. **Verificar las posibles raíces**:
   - Para \( x = 1 \):
     \[
     f(1) = 1^3 + 4(1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0
     \]
     Por lo tanto, \( x = 1 \) es una raíz.

5. **Factorización**: Ya que \( x = 1 \) es una raíz, podemos dividir \( f(x) \) entre \( (x - 1) \) usando división sintética o algebraica para encontrar los otros factores.
   
   - Realizando la división sintética:
     \[
     \begin{array}{r|rrr}
       1 & 1 & 0 & 4 & -5 \\
         &   & 1 & 1 & 5 \\
       \hline
         & 1 & 1 & 5 & 0 \\
     \end{array}
     \]
     El cociente es \( x^2 + x + 5 \). Entonces:
     \[
     f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 5)
     \]

6. **Resolver la ecuación cuadrática restante**: 
   \[
   x^2 + x + 5 = 0
   \]
   Para resolver esta ecuación cuadrática, usamos la fórmula cuadrática:
   \[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]
   Donde \( a = 1 \), \( b = 1 \) y \( c = 5 \):
   \[
   x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-19}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{19}}{2}
   \]

Por lo tanto, las raíces de la ecuación \( x^3 + 4x - 5 = 0 \) son:
1. \( x = 1 \) (real)
2. \( x = \frac{-1 + i\sqrt{19}}{2} \) (compleja)
3. \( x = \frac{-1 - i\sqrt{19}}{2} \) (compleja)

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Qué es el Teorema de las raíces racionales y cómo se aplica?
2. ¿Cómo se realiza la división sintética paso a paso?
3. ¿Cuál es el método de factorización para ecuaciones cúbicas?
4. ¿Qué pasos seguir para resolver ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas?
5. ¿Cómo verificar si las soluciones complejas son correctas?

### Tip:
Cuando encuentres una raíz racional de una ecuación polinómica, siempre usa esa raíz para simplificar el polinomio y reducir su grado.

Learn how to solve the cubic equation x^3 + 4x - 5 = 0 using synthetic division, factoring, and the quadratic formula for complex solutions. Explore key algebraic concepts and theorems, such as the Rational Root Theorem. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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