En cierta oficina, las computadoras C y D se utilizan c y d horas, respectivamente. Si la produccion
diaria Q est´a dada por
Q(c, d) = 18c + 20d − 2c^2 − 4d^2 − cd.
encuentre los valores de c y d que maximizan la produccion Q.

Para encontrar los valores de \( c \) y \( d \) que maximizan la producción \( Q(c, d) \), necesitamos seguir los siguientes pasos:

1. **Derivadas parciales de \( Q \) respecto a \( c \) y \( d \):**
   \[
   \frac{\partial Q}{\partial c} = 18 - 4c - d
   \]
   \[
   \frac{\partial Q}{\partial d} = 20 - 8d - c
   \]

2. **Encontrar los puntos críticos:**
   Para encontrar los puntos críticos, igualamos las derivadas parciales a cero y resolvemos el sistema de ecuaciones:

   \[
   18 - 4c - d = 0 \quad \text{(1)}
   \]
   \[
   20 - 8d - c = 0 \quad \text{(2)}
   \]

   **Resolver el sistema de ecuaciones:**

   - De la ecuación (1):
     \[
     d = 18 - 4c \quad \text{(3)}
     \]

   - Sustituimos (3) en la ecuación (2):
     \[
     20 - 8(18 - 4c) - c = 0
     \]
     \[
     20 - 144 + 32c - c = 0
     \]
     \[
     31c = 124
     \]
     \[
     c = \frac{124}{31} = 4
     \]

   - Ahora sustituimos \( c = 4 \) en la ecuación (3):
     \[
     d = 18 - 4(4) = 18 - 16 = 2
     \]

   Por lo tanto, los valores críticos son \( c = 4 \) y \( d = 2 \).

3. **Comprobar si es un máximo utilizando la matriz Hessiana:**

   La matriz Hessiana \( H \) de la función \( Q(c, d) \) está dada por:

   \[
   H = \begin{pmatrix}
   \frac{\partial^2 Q}{\partial c^2} & \frac{\partial^2 Q}{\partial c \partial d} \\
   \frac{\partial^2 Q}{\partial d \partial c} & \frac{\partial^2 Q}{\partial d^2}
   \end{pmatrix}
   \]

   Calculamos las segundas derivadas:

   \[
   \frac{\partial^2 Q}{\partial c^2} = -4
   \]
   \[
   \frac{\partial^2 Q}{\partial d^2} = -8
   \]
   \[
   \frac{\partial^2 Q}{\partial c \partial d} = \frac{\partial^2 Q}{\partial d \partial c} = -1
   \]

   Entonces, la matriz Hessiana es:

   \[
   H = \begin{pmatrix}
   -4 & -1 \\
   -1 & -8
   \end{pmatrix}
   \]

   El determinante de la matriz Hessiana es:

   \[
   \text{Det}(H) = (-4)(-8) - (-1)(-1) = 32 - 1 = 31 > 0
   \]

   Como el determinante de \( H \) es positivo y \( \frac{\partial^2 Q}{\partial c^2} = -4 < 0 \), esto indica que el punto crítico \( (c = 4, d = 2) \) es un **máximo local**.

### Conclusión:
Los valores de \( c \) y \( d \) que maximizan la producción \( Q(c, d) \) son \( c = 4 \) horas y \( d = 2 \) horas, respectivamente.

¿Hay algo más que te gustaría explorar sobre este problema o alguna otra pregunta que tengas?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se interpretan los términos de la matriz Hessiana en el contexto económico?
2. ¿Qué sucede con la producción \( Q \) si las horas \( c \) y \( d \) cambian ligeramente alrededor del punto óptimo?
3. ¿Cómo afectaría una restricción en las horas de uso (por ejemplo, \( c + d \leq 6 \)) a la solución óptima?
4. ¿Qué ocurre si se cambia la función de producción añadiendo otro término cuadrático o lineal?
5. ¿Cómo afectaría la adición de costos variables a la maximización de la producción?

### Tip:
Cuando maximices o minimices una función con más de una variable, siempre verifica si el punto crítico es un máximo, mínimo, o punto de silla utilizando la matriz Hessiana.

Explore how to maximize the production function Q(c, d) = 18c + 20d - 2c^2 - 4d^2 - cd using calculus techniques. Learn about partial derivatives, the second derivative test, and the matrix Hessian. Suitable for advanced undergraduate students studying calculus and optimization.

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