	La producción mensual de una empresa en unidades está dada por:

Q(L,K)=21L^0.5 K^0.7

Donde L es la cantidad de trabajadores y K es el número de unidades de capital. Si cada unidad de trabajo cuesta $750.000 al mes y cada unidad de capital cuesta $870.000 al mes, cuál es la producción máxima que podría alcanzar la empresa si el dinero que tiene presupuestado mensualmente para asumir sus costos de producción es de $45.000.000. ¿Qué cantidad de trabajadores y de capital permitirían alcanzar este nivel de producción?


Para resolver este problema, se deben encontrar los valores de $ L $ (cantidad de trabajadores) y $ K $ (unidades de capital) que maximizan la función de producción $ Q(L, K) = 21L^{0.5}K^{0.7} $, sujeto a la restricción presupuestaria de $ 45,000,000 $ pesos.

### Paso 1: Planteamiento del problema
La restricción presupuestaria se puede expresar como:

\[
750,000L + 870,000K = 45,000,000
\]

### Paso 2: Expresar $ K $ en función de $ L $
Despejamos $ K $ de la restricción presupuestaria:

\[
K = \frac{45,000,000 - 750,000L}{870,000}
\]

### Paso 3: Sustitución en la función de producción
Sustituimos la expresión de $ K $ en la función de producción $ Q(L, K) $:

\[
Q(L) = 21L^{0.5}\left(\frac{45,000,000 - 750,000L}{870,000}\right)^{0.7}
\]

### Paso 4: Maximización de $ Q(L) $
Para maximizar la producción, derivamos $ Q(L) $ respecto de $ L $ e igualamos a cero:

\[
\frac{dQ}{dL} = 0
\]

Sin embargo, resolver esta derivada algebraicamente es complejo. Por lo tanto, se puede proceder a resolver el problema de manera numérica.

### Paso 5: Método de Lagrange (opcional)
Alternativamente, podemos utilizar el método de multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores óptimos de $ L $ y $ K $.

### Resolviendo el problema numéricamente:
Procedamos a calcular numéricamente los valores óptimos de $ L $ y $ K $.La producción máxima que podría alcanzar la empresa es de aproximadamente **1140.03 unidades**.

Para lograr esta producción máxima, la empresa debe emplear aproximadamente:
- **25 trabajadores** ($L \approx 25$)
- **30 unidades de capital** ($K \approx 30$)

¿Te gustaría obtener más detalles sobre el proceso o tienes alguna otra pregunta?

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Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:
1. ¿Cómo se calcula la derivada de una función de producción?
2. ¿Qué es el método de Lagrange y cómo se aplica en problemas de optimización?
3. ¿Cómo afecta un cambio en el presupuesto a la cantidad óptima de trabajo y capital?
4. ¿Qué ocurre si los costos de trabajo y capital cambian?
5. ¿Cómo se interpretan los exponentes en la función de producción $ Q(L, K) $?
6. ¿Cuál es la importancia de las restricciones en un problema de optimización?
7. ¿Qué métodos numéricos existen para resolver problemas de optimización?
8. ¿Cómo se pueden representar gráficamente las soluciones de un problema de optimización?

**Tip:** En problemas de maximización, cuando se tiene una restricción presupuestaria, el uso del método de Lagrange es una herramienta poderosa para encontrar soluciones óptimas.

Explore how to maximize production using the production function Q(L, K) = 21L^0.5 K^0.7 under a budget constraint of $45,000,000. Discover the optimal number of workers and units of capital required for maximum production.

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