Soit ( (u_n) ) la suite définie par ( u_n = n^3 - 4 ).

    Déterminer la limite de la suite ( (u_n) ).
    Déterminer le plus petit entier ( n ) tel que : a) ( u_n > 100 ). b) ( u_n \geq 1000 ). c) ( u_n > 10000 ).


### 1. Détermination de la limite de la suite \( (u_n) \)

La suite \( u_n \) est définie par \( u_n = n^3 - 4 \).

Pour déterminer la limite de cette suite quand \( n \to +\infty \), on calcule :

\[
\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (n^3 - 4).
\]

Comme \( n^3 \to +\infty \) et que \( -4 \) est une constante négligeable par rapport à \( n^3 \) quand \( n \) devient très grand, on obtient :

\[
\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty.
\]

La suite tend donc vers l'infini.

### 2. Recherche des plus petits entiers \( n \)

#### a) Trouver \( n \) tel que \( u_n > 100 \)

On cherche le plus petit entier \( n \) tel que :

\[
n^3 - 4 > 100 \quad \text{soit} \quad n^3 > 104.
\]

Il suffit donc de résoudre :

\[
n > \sqrt[3]{104} \approx 4.74.
\]

Le plus petit entier \( n \) est donc \( n = 5 \). Vérifions :

- Pour \( n = 5 \), \( u_5 = 5^3 - 4 = 125 - 4 = 121 \) (donc \( u_5 > 100 \)).

Le plus petit entier est donc \( n = 5 \).

#### b) Trouver \( n \) tel que \( u_n \geq 1000 \)

On cherche \( n \) tel que :

\[
n^3 - 4 \geq 1000 \quad \text{soit} \quad n^3 \geq 1004.
\]

On résout :

\[
n \geq \sqrt[3]{1004} \approx 10.01.
\]

Le plus petit entier \( n \) est donc \( n = 11 \). Vérifions :

- Pour \( n = 11 \), \( u_{11} = 11^3 - 4 = 1331 - 4 = 1327 \) (donc \( u_{11} \geq 1000 \)).

Le plus petit entier est donc \( n = 11 \).

#### c) Trouver \( n \) tel que \( u_n > 10000 \)

On cherche \( n \) tel que :

\[
n^3 - 4 > 10000 \quad \text{soit} \quad n^3 > 10004.
\]

On résout :

\[
n > \sqrt[3]{10004} \approx 21.72.
\]

Le plus petit entier \( n \) est donc \( n = 22 \). Vérifions :

- Pour \( n = 22 \), \( u_{22} = 22^3 - 4 = 10648 - 4 = 10644 \) (donc \( u_{22} > 10000 \)).

Le plus petit entier est donc \( n = 22 \).

---

Avez-vous besoin de plus de détails sur l'une des parties ?

### 5 questions supplémentaires :
1. Comment déterminer la limite d'une suite de manière générale ?
2. Pourquoi \( u_n = n^3 - 4 \) tend vers l'infini ?
3. Comment trouver les racines cubiques d'un nombre sans calculatrice ?
4. Que se passe-t-il si on demande une condition comme \( u_n < 100 \) ?
5. Comment prouver formellement qu'une suite est croissante ?

### Un conseil :
Pour résoudre des inégalités comme \( n^3 > a \), vous pouvez toujours commencer par estimer la racine cubique de \( a \).

Soit ( (u_n) ) la suite définie par ( u_n = n^3 - 4 ). Déterminer la limite de la suite ( (u_n) ). Déterminer le plus petit entier ( n ) tel que : a) ( u_n > 100 ). b) ( u_n \geq 1000 ). c) ( u_n > 10000 ).

This guide covers the steps to find the limit of the sequence u_n = n^3 - 4 and determine the smallest integer n such that u_n exceeds 100, 1000, and 10000. It includes the application of limits and solving inequalities involving cubic functions. Ideal for students in Grades 10-12.

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