On définit la suite (un) uo = -1 par Un+1=24n+1 et la suite (vn) par vn = un-2

1) Calculer U1, U2, U3 et 4. (un) est-elle arithmétique? géométrique ? Pourquoi ? 2) Démontrer que (vn) est géométrique, donner son premièr terme et sa raison.

En déduire que que pour tout ne IN,

Un = (-3)x

3) Démontrer que (un) est croissante et converge vers 2.

Voyons comment résoudre chaque partie de ce problème en détail.

### 1) Calcul des premiers termes de la suite \( (u_n) \)

On nous donne la suite \( (u_n) \) définie par la relation :

\[
u_0 = -1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = 2u_n + 1 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}.
\]

- \( u_0 = -1 \)

Calculons les premiers termes \( u_1, u_2, u_3 \) et \( u_4 \) :

- Pour \( u_1 \), en utilisant la formule de récurrence :
  \[
  u_1 = 2u_0 + 1 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1.
  \]

- Pour \( u_2 \) :
  \[
  u_2 = 2u_1 + 1 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1.
  \]

- Pour \( u_3 \) :
  \[
  u_3 = 2u_2 + 1 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1.
  \]

- Pour \( u_4 \) :
  \[
  u_4 = 2u_3 + 1 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1.
  \]

Ainsi, \( u_1 = u_2 = u_3 = u_4 = -1 \).

#### La suite \( (u_n) \) est-elle arithmétique ou géométrique ?

Une suite est **arithmétique** si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Ici, pour \( u_n \), on a :
\[
u_{n+1} - u_n = (2u_n + 1) - u_n = u_n + 1.
\]
La différence n'est donc pas constante, donc \( (u_n) \) n'est pas arithmétique.

Une suite est **géométrique** si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ici :
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2u_n + 1}{u_n},
\]
ce rapport dépend de \( u_n \) et n'est donc pas constant. Par conséquent, \( (u_n) \) n'est pas non plus géométrique.

### 2) Étude de la suite \( (v_n) \)

On définit \( v_n = u_n - 2 \). En substituant la relation de récurrence de \( u_n \), on obtient :

\[
v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (2u_n + 1) - 2 = 2u_n - 1 = 2(v_n + 2) - 1 = 2v_n + 3.
\]

On voit donc que \( v_n \) suit une forme géométrique avec un premier terme \( v_0 \) et une règle

On définit la suite (un) uo = -1 par Un+1=24n+1 et la suite (vn) par vn = un-2. 1) Calculer U1, U2, U3 et 4. (un) est-elle arithmétique? géométrique ? Pourquoi ? 2) Démontrer que (vn) est géométrique, donner son premièr terme et sa raison. En déduire que que pour tout ne IN, Un = (-3)x 3) Démontrer que (un) est croissante et converge vers 2.

This problem covers the calculation of the first few terms of the sequence (un) defined by recurrence relation and examines if it is arithmetic or geometric. The sequence (vn) is proven to be geometric, with its first term and ratio identified. Finally, the growth and convergence of (un) are demonstrated, along with detailed mathematical concepts like sequences, progression formulas, and limits. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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