Identifique la longitud del eje mayor de la elipse:
9
x
2
+
4
y
2
+
54
x
−
8
y
+
49
=
0
9x 
2
 +4y 
2
 +54x−8y+49=0

Para identificar la longitud del eje mayor de la elipse dada por la ecuación:

\[
9x^2 + 4y^2 + 54x - 8y + 49 = 0
\]

**Paso 1: Reorganizar la ecuación**
Agrupamos los términos de \(x\) y \(y\):

\[
9(x^2 + 6x) + 4(y^2 - 2y) = -49
\]

**Paso 2: Completar cuadrados**
Completamos los cuadrados para las expresiones de \(x\) y \(y\).

Para \(9(x^2 + 6x)\), el término necesario para completar el cuadrado es \(9\), ya que:

\[
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9
\]

Para \(4(y^2 - 2y)\), el término necesario es \(1\), ya que:

\[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
\]

Sustituyendo en la ecuación:

\[
9((x + 3)^2 - 9) + 4((y - 1)^2 - 1) = -49
\]

Expandiendo:

\[
9(x + 3)^2 - 81 + 4(y - 1)^2 - 4 = -49
\]

\[
9(x + 3)^2 + 4(y - 1)^2 = 36
\]

**Paso 3: Dividir por 36**
Para obtener la forma estándar de una elipse, dividimos toda la ecuación por 36:

\[
\frac{9(x + 3)^2}{36} + \frac{4(y - 1)^2}{36} = 1
\]

Simplificando:

\[
\frac{(x + 3)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1
\]

Esta es la ecuación de una elipse en su forma estándar, donde el denominador mayor está en el eje \(y\).

**Paso 4: Identificar la longitud del eje mayor**
En la forma estándar de la elipse \(\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\), el eje mayor está asociado con el valor mayor entre \(a^2\) y \(b^2\).

Aquí, \(a^2 = 4\) y \(b^2 = 9\), por lo que \(b\) es el valor mayor, lo que indica que el eje mayor es vertical.

La longitud del eje mayor es \(2b = 2 \times 3 = 6\).

**Conclusión:**
La longitud del eje mayor de la elipse es \(6\).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se completa el cuadrado en ecuaciones cuadráticas?
2. ¿Cómo se identifica el eje mayor de una elipse?
3. ¿Qué representa el término constante en la ecuación de una elipse?
4. ¿Cómo influye la forma estándar en el análisis de una elipse?
5. ¿Qué métodos existen para reorganizar una ecuación general de segundo grado?

**Tip:** Completar cuadrados es una técnica muy útil para convertir ecuaciones de segundo grado en formas estándar, como en las elipses o parábolas.

Identifique la longitud del eje mayor de la elipse: 9x^2 + 4y^2 + 54x - 8y + 49 = 0

Discover how to find the length of the major axis of an ellipse given by the equation 9x^2 + 4y^2 + 54x - 8y + 49 = 0. This step-by-step guide involves completing the square and converting the equation to its standard form. Perfect for students in Grades 10-12 exploring conic sections.

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