Determina los elementos, la ecuación ordinaria  cuya ecuación general es  4x^2+32y^2+4x+128y+65=0.

Para determinar los elementos de la ecuación general de una elipse y convertirla en su forma ordinaria, comenzamos con la ecuación general dada:

\[
4x^2 + 32y^2 + 4x + 128y + 65 = 0
\]

### Paso 1: Agrupación de términos y factorización de coeficientes

Agrupamos los términos cuadráticos y lineales de \(x\) y \(y\):

\[
4(x^2 + \frac{x}{1}) + 32(y^2 + 4y) = -65
\]

Ahora factorizamos el coeficiente de \(x^2\) y \(y^2\):

\[
4(x^2 + \frac{x}{1}) + 32(y^2 + 4y) = -65
\]

### Paso 2: Completación de cuadrados

Para completar los cuadrados, tomamos los coeficientes lineales de \(x\) y \(y\), los dividimos por 2 y los elevamos al cuadrado.

Para \(x^2 + \frac{x}{1}\):

\[
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]

Para \(y^2 + 4y\):

\[
\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4
\]

Ahora agregamos y restamos estos valores dentro de cada grupo:

\[
4\left(x^2 + \frac{x}{1} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + 32\left(y^2 + 4y + 4 - 4\right) = -65
\]

Simplificamos:

\[
4\left(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) + 32\left((y + 2)^2 - 4\right) = -65
\]

Distribuimos los coeficientes:

\[
4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + 32(y + 2)^2 - 128 = -65
\]

Ahora sumamos los términos constantes:

\[
4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 32(y + 2)^2 = 64
\]

### Paso 3: Dividimos ambos lados de la ecuación por 64

\[
\frac{4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2}{64} + \frac{32(y + 2)^2}{64} = \frac{64}{64}
\]

Simplificamos:

\[
\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2}{16} + \frac{(y + 2)^2}{2} = 1
\]

### Paso 4: Identificación de los elementos de la elipse

Esta es la ecuación ordinaria de la elipse:

\[
\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2}{16} + \frac{(y + 2)^2}{2} = 1
\]

Los elementos de la elipse son:

- **Centro**: \(\left(-\frac{1}{2}, -2\right)\)
- **Semieje mayor**: \(\sqrt{16} = 4\)
- **Semieje menor**: \(\sqrt{2}\)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se deriva la ecuación ordinaria de una elipse?
2. ¿Qué otros métodos existen para completar el cuadrado?
3. ¿Cómo se identifican las características principales de una hipérbola?
4. ¿Cómo influye el cambio de signo en los términos de una cónica?
5. ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación de una elipse y un círculo?

**Tip:** La completación de cuadrados es una técnica clave para convertir ecuaciones generales de cónicas en su forma ordinaria.

Determina los elementos, la ecuación ordinaria cuya ecuación general es 4x^2+32y^2+4x+128y+65=0.

Learn how to convert the general equation 4x^2 + 32y^2 + 4x + 128y + 65 = 0 into the standard form of an ellipse using the completing the square technique. Explore the step-by-step solution to find the center, semi-major, and semi-minor axes. This problem is suitable for students in Grades 10-12 studying conic sections.

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