halla la ecuacion de la conica de 4x^2+25y^2-28y-92=0

Para hallar la ecuación de la cónica \(4x^2 + 25y^2 - 28y - 92 = 0\), seguiremos el proceso de completar el cuadrado para el término \(y\) y reorganizar la ecuación en una forma estándar.

### Paso 1: Reorganizar los términos
Escribimos la ecuación de la siguiente manera, agrupando los términos relacionados con \(y\):

\[
4x^2 + 25(y^2 - \frac{28}{25}y) = 92
\]

### Paso 2: Completar el cuadrado para \(y\)
Ahora, completamos el cuadrado para el término \(y\). El coeficiente de \(y\) es \(\frac{-28}{25}\), la mitad de este valor es \(\frac{-14}{25}\), y su cuadrado es \(\left(\frac{-14}{25}\right)^2 = \frac{196}{625}\).

Agregamos y restamos \(\frac{196}{625}\) dentro del paréntesis:

\[
4x^2 + 25\left[\left(y - \frac{14}{25}\right)^2 - \frac{196}{625}\right] = 92
\]

### Paso 3: Simplificar la ecuación
Multiplicamos todo por \(25\) dentro del paréntesis para distribuir:

\[
4x^2 + 25\left(y - \frac{14}{25}\right)^2 - 25\left(\frac{196}{625}\right) = 92
\]

Esto se simplifica a:

\[
4x^2 + 25\left(y - \frac{14}{25}\right)^2 - 196 = 92
\]

### Paso 4: Mover los términos constantes
Ahora movemos los términos constantes al lado derecho:

\[
4x^2 + 25\left(y - \frac{14}{25}\right)^2 = 92 + 196
\]

\[
4x^2 + 25\left(y - \frac{14}{25}\right)^2 = 288
\]

### Paso 5: Dividir para normalizar
Dividimos ambos lados de la ecuación entre \(288\) para obtener una ecuación igualada a 1:

\[
\frac{4x^2}{288} + \frac{25\left(y - \frac{14}{25}\right)^2}{288} = 1
\]

Simplificamos:

\[
\frac{x^2}{72} + \frac{\left(y - \frac{14}{25}\right)^2}{\frac{288}{25}} = 1
\]

Esto es la ecuación de una elipse centrada en \( \left(0, \frac{14}{25}\right) \), con semiejes \(\sqrt{72}\) y \(\sqrt{\frac{288}{25}}\).

### Resultado final:
\[
\frac{x^2}{72} + \frac{\left(y - \frac{14}{25}\right)^2}{\frac{288}{25}} = 1
\]

Esta es la forma estándar de la elipse.

¿Te gustaría que te explique más sobre los pasos de completar el cuadrado o la forma de una elipse? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determinan los ejes de una elipse?
2. ¿Por qué se completa el cuadrado en las ecuaciones de segundo grado?
3. ¿Cómo influye el signo en las ecuaciones cónicas?
4. ¿Qué otras formas pueden tomar las cónicas aparte de la elipse?
5. ¿Cómo se traduce una cónica cuando no está centrada en el origen?

**Tip:** Recuerda que completar el cuadrado es una técnica útil para transformar ecuaciones cuadráticas en una forma más manejable.

Discover how to find the equation of the conic 4x^2 + 25y^2 - 28y - 92 = 0. This problem covers conic sections, completing the square, and the derivation of the standard form of an ellipse. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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