tính nguyên hàm ln(4-sinx bình phương)dx chi tiết

Chúng ta cần tính nguyên hàm của \( \int \ln(4 - \sin^2(x)) \, dx \). Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng các kỹ thuật giải tích thích hợp. 

### Bước 1: Đặt hàm cần tính nguyên hàm
Đặt hàm tích phân như sau:
\[
I = \int \ln(4 - \sin^2(x)) \, dx
\]

### Bước 2: Phân tích hàm dưới dạng hàm số
Ta có thể nhận thấy biểu thức dưới dạng \( 4 - \sin^2(x) \) có thể viết lại bằng cách dùng định lý lượng giác:
\[
4 - \sin^2(x) = 4 \left( 1 - \frac{\sin^2(x)}{4} \right)
\]
Áp dụng tính chất logarit:
\[
\ln(4 - \sin^2(x)) = \ln(4) + \ln\left( 1 - \frac{\sin^2(x)}{4} \right)
\]

Như vậy, biểu thức tích phân trở thành:
\[
I = \int \left( \ln(4) + \ln\left( 1 - \frac{\sin^2(x)}{4} \right) \right) \, dx
\]

Chia nhỏ tích phân thành hai phần:
\[
I = \ln(4) \int dx + \int \ln\left( 1 - \frac{\sin^2(x)}{4} \right) \, dx
\]

### Bước 3: Tính từng tích phân
- Tích phân thứ nhất là tích phân của hằng số:
\[
\int dx = x
\]
Do đó, ta có:
\[
\ln(4) \int dx = \ln(4) \cdot x
\]

- Với tích phân thứ hai, ta cần sử dụng kỹ thuật tích phân phức tạp hơn để giải quyết, có thể dùng phương pháp chuỗi hoặc mở rộng Taylor cho \( \ln(1 - u) \) khi \( u = \frac{\sin^2(x)}{4} \). Tuy nhiên, để tính toán cụ thể và dễ hiểu hơn, biểu thức này không có dạng nguyên hàm đơn giản và phải được tính bằng số học hoặc các công cụ giải tích khác.

### Kết quả cuối cùng
Do đó, kết quả nguyên hàm có dạng:
\[
I = \ln(4) \cdot x + \int \ln\left( 1 - \frac{\sin^2(x)}{4} \right) \, dx + C
\]
trong đó \( C \) là hằng số tích phân.

### Có thắc mắc nào về các bước hoặc cần chi tiết thêm không?

#### 5 câu hỏi mở rộng:
1. Làm thế nào để tính tích phân của các hàm phức tạp hơn như \( \ln(1 - \sin^2(x)) \)?
2. Phương pháp mở rộng chuỗi Taylor có ứng dụng gì trong việc tính tích phân logarit?
3. Tại sao lại sử dụng định lý lượng giác để đơn giản hóa tích phân?
4. Tích phân của logarit và hàm lượng giác có liên quan gì đến các hàm đặc biệt?
5. Có cách nào để tính tích phân này một cách gần đúng mà không cần công cụ tính toán phức tạp không?

#### Mẹo:
Khi gặp các bài toán tích phân phức tạp với các hàm lượng giác và logarit, sử dụng các kỹ thuật biến đổi đơn giản như chuỗi Taylor hoặc phép biến đổi lượng giác có thể giúp giải quyết bài toán dễ dàng hơn.

Step-by-step solution to the integral of ln(4 - sin^2(x)) dx, using logarithmic properties, trigonometric identities, and Taylor series expansion. Explore how to handle complex integrals involving logarithmic and trigonometric functions. Ideal for undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation